10 Νοεμβρίου 2025
Σημειώσεις Μαθηματικών Α Λυκείου, λύσεις των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου και αναλυτική θεωρία. Στην ενότητα αυτή αναλύονται η διάταξη και οι ιδιότητες της.
Για να καταλάβουμε ποιος από τους αριθμούς α ή β είναι μεγαλύτερος αρκεί να τους αφαιρέσουμε:
\[\alpha - \beta\]
και αν το αποτέλεσμα είναι μεγαλύτερο από το μηδέν τότε ο α είναι μεγαλύτερος από τον β. Γράφουμε:
\[{\alpha > \beta}\Leftrightarrow{{a - \beta} > 0}\]
ενώ, αν το αποτέλεσμα είναι μικρότερο του μηδενός τότε ο α είναι μικρότερος από τον β. Γράφουμε:
\[{\alpha < \beta}\Leftrightarrow{{a - \beta} < 0}\]
Ισχύουν και τα αντίστροφα.
Όπως γνωρίζετε οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να τοποθετηθούν πάνω σε μία ευθεία. Τοποθετούμε του μεγαλύτερους δεξιότερα από τους μικρότερους. Δηλαδή αν \(\alpha > \beta\) τότε ο α είναι δεξιότερα από τον β. Γιαυτό τον λόγο έχουμε και ο άξονας αναπαριστάτε με ένα βέλος που έχει κατεύθυνση προς τα δεξιά.
Με ανάλογο τρόπο μπορούμε να πούμε ότι δύο αριθμοί είναι ίσοι όταν:
\[{\alpha = \beta}\Leftrightarrow{{a - \beta} = 0}\]
Αν για τους αριθμούς α και β ισχύει ότι
\[\alpha > \beta\] ή \[\alpha = \beta\]
τότε γράφουμε \(\alpha\geq\beta\) και διαβάζουμε: «α μεγαλύτερος ή ίσος του β».
Όταν δύο ή περισσότεροι αριθμοί είναι θετικοί τότε και το άθροισμά τους θα είναι θετικός. Σκεφτείτε το αριθμητικό παράδειγμα: \({2 + 4} = 6\). Γράφουμε:
\[\{{\alpha > 0}\mathit\quad {\kappa\alpha\iota}\quad {\beta > 0}\}\Rightarrow{{\alpha + \beta} > 0}\]
Προσέξτε ότι έχουμε το μονό βέλος (συνεπάγεται) διότι το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα, π.χ.
\({{- 2} + 4} > 0\) ενώ \({- 2} < 0\) και \(4 > 0\)
Όμοια αν δύο αριθμοί είναι και οι δύο αρνητικοί τότε υποχρεωτικά και το άθροισμά τους θα είναι αρνητικός αριθμός. Σκεφτείτε:
\[{{- 2} - 4} = {- 6}\].
Εδώ γράφουμε:
\[\{{\alpha < 0}\mathit\quad {\kappa\alpha\iota}\quad{\beta < 0}\}\Rightarrow{{\alpha + \beta} < 0}\]
Πάλι δεν ισχύει το αντίστροφο.
Αν ο ένα αριθμός είναι θετικός και ο άλλος αρνητικός τότε το αποτέλεσμα μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό ανάλογα ποιος αριθμός θα έχει την μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. Σκεφτείτε:
\({{- 4} + 4} = {+ 2}\) ενώ \({{+ 2} - 4} = {- 2}\)
Όπως γνωρίζετε από τον πολλαπλασιασμό αν δύο αριθμοί είναι και οι δύο θετικοί ή αρνητικοί (δηλαδή είναι ομόσημοι) τότε το γινόμενό τους είναι μεγαλύτερο του μηδενός, δηλαδή:
\[\alpha,\beta \quad \mathit{ο\mu ό\sigma\eta\mu ο\iota}\Leftrightarrow{{\alpha \cdot \beta} > 0}\Leftrightarrow{\frac{a}{\beta} > 0}\]
αν οι δύο αριθμοί είναι ο ένας θετικός και ο άλλος αρνητικός (δηλαδή ετερόσημοι) τότε το γινόμενό τους είναι μικρότερο του μηδενός, δηλαδή:
\[\alpha,\beta \quad \mathit{\varepsilon\tau\varepsilon\rho ό\sigma\eta\mu ο\iota}\Leftrightarrow{{\alpha \cdot \beta} < 0}\Leftrightarrow{\frac{a}{\beta} < 0}\]
Κάτι που είναι πολύ σημαντικό και θα το χρησιμοποιήσουμε στις ασκήσεις είναι ότι το τετράγωνο ενός αριθμού ( που δεν είναι όμως το μηδέν) είναι πάντα θετικό. Αν ο αριθμός είναι το μηδέν τότε το τετράγωνό του είναι ίσο μηδέν. Δηλαδή:
\[{\alpha^{2} \geq 0}, \quad {\alpha \in {\mathbb{R}}}\]
Δηλαδή το παραπάνω ισχύει για κάθε (\(\forall\)) αριθμό \(α\)
Παρακάτω δίνουμε μερικά αριθμητικά παραδείγματα:
Ας μελετήσουμε τώρα την ποσότητα:
\[\alpha^{2} + \beta^{2} \quad με \quad \alpha,{\beta \in {\mathbb{R}}}\]
αρχίζουμε π.χ. με μερικά αριθμητικά παραδείγματα:
Παρατηρείστε λοιπόν ότι όποιον αριθμό βάλουμε στα α και β (που να μην είναι μηδέν και οι δύο ταυτόχρονα) το αποτέλεσμα προκύπτει πάντα θετικό.
Υπάρχει μόνο μία περίπτωση όπου και οι δύο αριθμοί είναι ταυτόχρονα μηδέν και έτσι το παραπάνω άθροισμα είναι μηδέν. Δηλαδή συνολικά γράφουμε:
\[{{\alpha^{2} + \beta^{2}} = 0}\Leftrightarrow \{{a = 0} \quad \mathit{\kappa\alpha\iota}\quad {\beta = 0}\}\]
και
\[{{\alpha^{2} + \beta^{2}} > 0}\Leftrightarrow \{{a \neq 0}\mathit\quad{\kappa\alpha\iota}\quad{\beta \neq 0}\}\]
Θα συνεχίσουμε τώρα με τις ιδιότητες των ανισοτήτων.
(1) Αρχικά αν έχουμε τρεις αριθμούς και ο πρώτος είναι μεγαλύτερος από τον δεύτερο, ενώ ο δεύτερος μεγαλύτερος από τον τρίτο τότε θα είναι και ο πρώτος μεγαλύτερος από τον τρίτο. Ορίστε ένα αριθμητικό παράδειγμα:
αν \(10 > 4\) και \(4 > 2\) επομένως \(10 > 2\)
με την χρήση συμβόλων αυτό γράφεται ως εξής:
\[\{{\alpha > \beta}\mathit \quad {\kappa\alpha\iota} \quad {\beta > \gamma}\}\Rightarrow{\alpha > \gamma}\]
(2) Αν έχουμε μία ανισότητα α>β τότε μπορούμε να προσθέσουμε και στα δύο μέλη έναν οποιοδήποτε αριθμό. Η ανισότητα που θα προκύψει με αυτόν τον τρόπο εξακολουθεί να είναι αληθής. Ορίστε ένα αριθμητικό παράδειγμα:
αν \(10 > 5\) τότε και \({10 + 2} > {5 + 2}\)
με την χρήση συμβόλων γράφουμε:
\[{\alpha > \beta \Leftrightarrow}{{\alpha + \gamma} > {\beta + \gamma}}\]
(3) Αν έχουμε μία ανισότητα τότε μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε και στα δύο μέλη έναν αριθμό, αρκεί να μην είναι το μηδέν. Αν ο αριθμός που πολλαπλασιάζουμε είναι θετικός τότε η φορά της ανισότητας (η διάταξη των αριθμών) παραμένει ίδια ενώ αν είναι αρνητικός η φορά αλλάζει.
Ορίστε ένα αριθμητικό παράδειγμα:
αν \(10 > 5\) τότε \({10 \cdot 2} > {5 \cdot 2}\) ή \(20 > 10\), ενώ
αν \(10 > 5\) τότε \({10 \cdot {({- 2})}} < {5 \cdot {({- 2})}}\) ή \({- 20} < {- 10}\)
παρατηρείστε όμως τι θα γίνει αν πολλαπλασιάσουμε με το μηδέν:
\(10 < 5\) τότε \({10 \cdot 0} = {5 \cdot 0}\) ή \(0 = 0\)
με την χρήση συμβόλων γράφουμε:
Αν \(\gamma > 0\) τότε:
\[{\alpha > \beta}\Leftrightarrow{\mathit{\alpha\gamma} > \mathit{\beta\gamma}}\]
ενώ
Αν \(\gamma < 0\) τότε:
\[{\alpha > \beta}\Leftrightarrow{\mathit{\alpha\gamma} < \mathit{\beta\gamma}}\]
(4) Αν έχουμε δύο ανισότητες τότε μπορούμε να τις προσθέσουμε κατά μέλη. Τότε η ανισότητα που θα προκύψει είναι επίσης αληθής. Ορίστε ένα αριθμητικό παράδειγμα:
Αν \(10 > 5\) και \(9 > 8\) τότε \({10 + 9} > {5 + 8}\) ή \(19 > 13\)
Το λάθος που γίνεται εδώ πολλές φορές είναι να έχουμε γράψει τις ανισότητες με λάθος κατεύθυνση. Ορίστε τι εννοούμε:
Αν \(10 > 5\) και \(8 < 9\) τότε \({10 + 8}{(?)}{5 + 9}\)
Γράφουμε με την χρήση συμβόλων:
\[\{{\alpha > \beta}\quad \mathit{\kappa\alpha\iota}\quad {\gamma > \delta}\}\Rightarrow{{\alpha + \gamma} > {\beta + \delta}}\]
(5) Αν έχουμε δύο ανισότητες τότε μπορούμε αυτές να τις πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη. Σε αυτή την περίπτωση θα πρέπει να προσέξουμε αρκετά πράγματα.
Για α,β,γ,δ θετικούς γράφουμε με την χρήση συμβόλων:
\[\{{\alpha > \beta}\quad \mathit{\kappa\alpha\iota}\quad{\gamma > \delta}\}\Rightarrow\alpha\cdot{\gamma > {\beta \cdot \delta}}\]
(6) Για θετικούς αριθμούς α και β και για θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία:
\[{\alpha > \beta}\Leftrightarrow{\alpha^{\nu} > \beta^{\nu}}\]
(7) Για θετικούς αριθμούς α και β και για θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία:
\[{\alpha = \beta}\Leftrightarrow{\alpha^{\nu} = \beta^{\nu}}\]
Θα κάνουμε τώρα μερικά παραδείγματα από το σχολικό βιβλίο.
Να αποδείξετε ότι:
\[{\alpha < \beta}\Leftrightarrow{\frac{1}{a} > \frac{1}{\beta}}\]
\[{{\alpha^{2} + \beta^{2}} \geq 2}\mathit{\alpha\beta}\]
\[{\alpha + \frac{1}{\alpha}} \geq 2\]
Λύση:
Για να λύσουμε την πρώτη περίπτωση πρέπει αρχικά να καταλάβουμε ότι οι αριθμοί α και β είναι ομόσημοι, οπότε έχουμε:
\[\mathit{\alpha\beta} > 0\] ή \[\frac{1}{\mathit{\alpha\beta}} > 0\]
Θα κάνουμε μία ευθεία απόδειξη ξεκινώντας από το πρώτο μέλος της ισοδυναμίας με σκοπό να φτάσουμε στο δεύτερο. Εδώ αφού υπάρχει η ισοδυναμία πρέπει να εξεταστεί και η αντίθετη πορεία. Επομένως:
\[\alpha < \beta\]
σύμφωνα με την ιδιότητα πολλαπλασιάζουμε και στα δύο μέλη την θετική ποσότητα \(\frac{1}{\mathit{\alpha\beta}}\)
\[{\alpha \cdot \frac{1}{\mathit{\alpha\beta}}} < {\beta \cdot \frac{1}{\mathit{\alpha\beta}}}\]
κάνουμε τις απλοποιήσεις
\[\frac{1}{\beta} < \frac{1}{\alpha}\]
προφανώς οι πράξεις μπορούν να γίνουν και αντίθετα, επομένως γράφουμε την ισοδυναμία:
Αν \(α>0\) και \(β>0\) τότε
\[{\alpha < \beta}\Leftrightarrow{\frac{1}{a} > \frac{1}{\beta}}\]
Για την δεύτερη περίπτωση θα κάνουμε τον δεύτερο τρόπο της ευθείας απόδειξης.
Θα ξεκινήσουμε με την σχέση που μας δίνει. Σε αυτό το σημείο δεν γνωρίζουμε αν είναι αληθής ή ψευδής. Θα συνεχίσουμε με ισοδυναμίες μέχρι να φτάσουμε σε μία αποδεδειγμένα αληθής σχέση. Λόγω των ισοδυναμιών θα είναι αληθείς και όλες οι προηγούμενες σχέσεις. Επομένως:
\[{{\alpha^{2} + \beta^{2}} \geq 2}\mathit{\alpha\beta} \Leftrightarrow\]
προσθέτω και τις δύο πλευρές το $ {- 2} $. Προφανώς γίνεται και η αντίθετη πράξη.
\[{\alpha^{2} + \beta^{2} - 2}{\mathit{\alpha\beta} \geq 2}{\mathit{\alpha\beta} - 2}\mathit{\alpha\beta}\Leftrightarrow\]
\[{\alpha^{2} + \beta^{2} - 2}{\mathit{\alpha\beta} \geq 0}\Leftrightarrow\]
το πρώτο μέλος είναι το τετράγωνο της διαφοράς (ταυτότητα). Όλες οι παραπάνω πράξεις γίνονται και αντίθετα.
\[{({\alpha - \beta})}^{2} \geq 0\]
Η τελευταία σχέση λόγω είναι αληθής. Επομένως λόγω των ισοδυναμιών είναι αληθής και η πρώτη.
Για την τρίτη περίπτωση θα εργαστούμε αναλόγως με την (ii).
Η πρόταση που μας δίνει αποτελείται από:
την υπόθεση: \(\alpha > 0\) που μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε σαν δεδομένο και
από το συμπέρασμα όπου θέλουμε να καταλήξουμε: \[{\alpha + \frac{1}{\alpha}} \geq 2\]
Ξεκινάμε από το συμπέρασμα χωρίς να γνωρίζουμε αν είναι αληθής ή ψευδής:
\[{\alpha + \frac{1}{\alpha}} \geq 2\Leftrightarrow\]
πολλαπλασιάζουμε με \(\alpha > 0\) σύμφωνα με την ιδιότητα . Προφανώς γίνεται και η αντίστροφη πράξη (δηλαδή να πολλαπλασιάσουμε με \(\frac{1}{a} > 0\)). Αρα:
\[{({\alpha + \frac{1}{\alpha}})}{\alpha \geq 2}\alpha\Leftrightarrow\]
\[{{\alpha^{2} + 1} \geq 2}\alpha\Leftrightarrow\]
\[{\alpha^{2} - 2}{{\alpha + 1} \geq 0}\Leftrightarrow\]
\[{({\alpha - 1})}^{2} \geq 0\]
το οποίο ισχύει πάντα.
προφανώς όλες οι παραπάνω πράξεις γίνονται και με την αντίστροφη πορεία, επομένως λόγω των ισοδυναμιών θα είναι αληθής και η πρώτη που θέλουμε να δείξουμε.
Να αποδείξετε ότι:
\[{{\alpha^{2} + 9} \geq 6}\alpha\]
\[2{{({\alpha^{2} + \beta^{2}})} \geq {({\alpha + \beta})}^{2}}\]
Λύση:
Για την πρώτη περίπτωση θα κάνουμε μία ευθεία απόδειξη σύμφωνα με την δεύτερη μέθοδο. Δηλαδή θα αρχίσουμε από την ανισότητα που μας δίνει χωρίς να γνωρίζουμε αν αρχικά είναι αληθής ή ψευδής και θα καταλήξουμε σε μία πρόταση που είναι αληθής, επομένως θα είναι αληθής και η αρχική αφού έχουμε χρησιμοποιήσει τις ισοδυναμίες. Δηλαδή:
\[{{\alpha^{2} + 9} \geq 6}\alpha\Leftrightarrow\]
\[{\alpha^{2} - 6}{{\alpha + 9} \geq 0}\Leftrightarrow\]
\[{({a - 3})}^{2} \geq 0\]
Η τελευταία πρόταση ισχύει για όλους τους πραγματικούς αριθμούς. Επομένως λόγω των ισοδυναμιών θα είναι αληθής και η πρώτη.
Για την δεύτερη περίπτωση θα εργαστούμε αναλόγως:
\[2{{({\alpha^{2} + \beta^{2}})} \geq {({\alpha + \beta})}^{2}}\Leftrightarrow\]
\[2{\alpha^{2} + 2}{\beta^{2} \geq {\alpha^{2} + 2}}{\mathit{\alpha\beta} + \beta^{2}}\Leftrightarrow\]
\[{\alpha^{2} - 2}{{\mathit{\alpha\beta} + \beta^{2}} \geq 0}\Leftrightarrow\]
\[{({\alpha - \beta})}^{2} \geq 0\]
που ισχύει πάντα.
Να αποδείξετε ότι
\[{\alpha^{2} + \beta^{2} - 2}{{\mathit{\alpha\beta} + 1} \geq 0}\]
Πότε ισχύει η ισότητα;
Λύση:
Θα εργαστούμε με την μέθοδο της ευθείας απόδειξης και μάλιστα με την δεύτερη περίπτωση. Θα αρχίσουμε λοιπόν με την πρόταση που ακόμα δεν γνωρίζουμε αν είναι αληθής ή ψευδής:
\[{\alpha^{2} + \beta^{2} - 2}{{\alpha + 1} \geq 0}\Leftrightarrow\]
ομαδοποιούμε τους όρους κάνοντας χρήση της αντιμεταθετικής ιδιότητας της πρόσθεσης:
\[{{({{\alpha^{2} - 2}{\alpha + 1}})} + \beta^{2}} \geq 0\Leftrightarrow\]
η πρώτη παρένθεση είναι η ταυτότητα: τετράγωνο διαφοράς:
\[{{({\alpha - 1})}^{2} + \beta^{2}} \geq 0\]
Η τελευταία όμως πρόταση είναι αληθής για όλους τους πραγματικούς αριθμούς. Έτσι αφού έχουμε χρησιμοποιήσει τις ισοδυναμίες για να φτάσουμε σε αυτή την σχέση θα είναι αληθείς και όλες οι προηγούμενες, δηλαδή και η πρώτη από αυτές.
Η ισότητα:
\[{{({\alpha - 1})}^{2} + \beta^{2}} = 0\]
ισχύει όταν:
\({\alpha - 1} = 0\) και (ταυτόχρονα) \(\beta = 0\)
δηλαδή
\(\alpha = 1\) και \(\beta = 0\)
Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x και y στις παρακάτω περιπτώσεις:
Αν \[{{({x - 2})}^{2} + {({y + 1})}^{2}} = 0\]
Αν \[{x^{2} + y^{2} - 2}{x + 4}{{y + 5} = 0}\]
Λύση:
Για την πρώτη περίπτωση έχουμε:
\[{{({x - 2})}^{2} + {({y + 1})}^{2}} = 0\Leftrightarrow\]
\[{x - 2} = 0 \quad και \quad {y + 1} = 0\Leftrightarrow\]
\[x = 2 \quad και \quad y = {- 1}\]
Για την δεύτερη περίπτωση θα εργαστούμε αναλόγως αφού πρώτα κάνουμε μερικές πράξεις:
\[{x^{2} + y^{2} - 2}{x + 4}{{y + 5} = 0}\Leftrightarrow\]
ομαδοποιούμε κατάλληλα ώστε να εμφανιστούν οι ταυτότητες. Αλλά προσέξτε ότι έχουμε ένα μικρό πρόβλημα αφού οι όροι είναι 5 και όχι 6 που χρειαζόμαστε για να κατασκευάσουμε τις δύο ταυτότητες. Μπορούμε να ξεπεράσουμε αυτό το πρόβλημα με το να αντικαταστήσουμε το 5 με \(4 + 1\)
\[{x^{2} + y^{2} - 2}{x + 4}{{y + 4 + 1} = 0}\Leftrightarrow\]
και τώρα ομαδοποιούμε κατάλληλα:
\[{{({{x^{2} - 2}{x + 1}})} + {({{y^{2} + 4}{y + 4}})}} = 0\Leftrightarrow\]
\[{{({x - 1})}^{2} + {({y + 2})}^{2}} = 0\Leftrightarrow\]
Επομένως λόγω της έχουμε:
\[{x - 1} = 0\quad και \quad {y + 2} = 0\Leftrightarrow\]
\[x = 1\quad και \quad y = {- 2}\]
Μια ανισότητα που έχει τρία μέλη όπως η παρακάτω:
\[\alpha < \beta < \gamma\]
είναι στην πραγματικότητα δύο ανισότητες τοποθετημένες μαζί:
\[\alpha < \beta \quad και \quad \beta < \gamma\]
Για αυτές τις πολλαπλές ανισότητες μπορούμε να κάνουμε τις ίδιες πράξεις και με τις απλές.
Αν \[{- \frac{1}{2}} < x < \frac{3}{4}\]
και
\[{- \frac{2}{3}} < y < \frac{5}{6}\]
να αποδείξετε ότι:
\[{{- 11} < 8}{x - 12}{{y + 3} < 17}\]
Λύση:
Σκοπός αυτής της ομάδας ασκήσεων είναι να μάθουμε τον τρόπο που μπορούμε να κατασκευάσουμε μία ανισότητα ξεκινώντας με πρώτη ύλη κάποιες άλλες ανισότητες.
Σε αυτό το παράδειγμα πρέπει να κατασκευάσουμε την ανισότητα (συμπέρασμα):
\[{{- 11} < 8}{x - 12}{{y + 3} < 17}\]
ξεκινώντας και χρησιμοποιώντας τις σχέσεις:
\[{- \frac{1}{2}} < x < \frac{3}{4}\]
και
\[{- \frac{2}{3}} < y < \frac{5}{6}\]
Παρατηρούμε ότι στην ανισότητα που θέλουμε να κατασκευάσουμε υπάρχει το \(8x\). Επομένως θα πάρουμε την πρώτη ανισότητα που μας δίνεται:
\[{- \frac{1}{2}} < x < \frac{3}{4}\]
και θα πολλαπλασιάσουμε όλα τα μέλη σύμφωνα με την ιδιότητα τον θετικό αριθμό 8, ώστε να εμφανιστεί το 8x.
\[{{8 \cdot {({- \frac{1}{2}})}} < 8}{x < {8 \cdot \frac{3}{4}}}\]
\[{{- 4} < 8}{x < 6}\quad\quad (I)\]
Δεύτερον, παρατηρούμε ότι στην ανισότητα που θέλουμε να κατασκευάσουμε υπάρχει το -12x. Επομένως θα πάρουμε την δεύτερη ανισότητα που μας δίνεται:
\[{- \frac{2}{3}} < y < \frac{5}{6}\]
και θα πολλαπλασιάσουμε σε όλα τα μέλη τον αριθμό \[{({- 12})} < 0\]. Προσέξτε ότι λόγω του αρνητικού αριθμού που πολλαπλασιάζουμε η φορά της ανισότητα αλλάζει.
\[{{{({- 12})} \cdot {({- \frac{2}{3}})}} > {- 12}}{y > {{- 12} \cdot \frac{5}{6}}}\]
\[{8 > {- 12}}{y > {- 10}}\quad\quad (II)\]
παρατηρούμε ότι οι σχέσεις Ι και ΙΙ έχουν αντίθετες κατευθύνσεις, εννοούμε ότι στην σχέση Ι έχουμε το σύμβολο \({} < {}\) ενώ στην ΙΙ το σύμβολο \({} > {}\).
Αυτό θα πρέπει να το αλλάξουμε. Απλά γράφουμε την σχέση ΙΙ αντίθετα:
\[{{- 10} < {- 12}}{x < 8}\quad\quad (III)\]
προσθέτουμε τώρα κατά μέλη τις σχέσει Ι και ΙΙΙ:
\[{{{- 4} + {({- 10})}} < 8}{x - 12}{y < {6 + 8}}\]
\[{{- 14} < 8}{x - 12}{y < 14}\]
μέχρι τώρα έχουμε κατασκευάσει το \(8{x - 12}y\) και μας μένει να εμφανιστεί και ένα \(+ 3\) μέσα στην ανισότητα που θέλουμε να κατασκευάσουμε:
Αυτό θα το καταφέρουμε με το να προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό (το +3) σε όλα τα μέλη:
\[{{{- 14} + 3} < 8}{x - 12}{{y + 3} < {14 + 3}}\]
\[{{- 11} < 8}{x - 12}{{y + 3} < 17}\]
Αν \(4,5 < x < 4,6\) και \(5,3 < y < 5,4\) να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή καθεμιάς από τις παραστάσεις:
\[x + y\]
\[x - y\]
\[\frac{x}{y}\]
\[x^{2} + y^{2}\]
Λύση:
Για την πρώτη περίπτωση (i) απλά θα προσθέσουμε κατά μέλη τις ανισότητες που μας δίνονται. Απλά προσέχουμε ότι οι ανισότητες έχουν την ίδια κατεύθυνση.
\[{4,5 + 5,3} < {x + y} < {4,6 + 5,4}\]
\[9,8 < {x + y} < 10,0\]
Για την δεύτερη περίπτωση (ii) ίσως μπείτε στον πειρασμό να αφαιρέσετε κατά μέλη, αλλά προσέξτε ότι δεν αναφέρεται πουθενά τέτοια ιδιότητα και έτσι δεν μπορούμε να αφαιρούμε κατά μέλη!
Η αφαίρεση όμως είναι η πρόσθεση του αντιθέτου επομένως αρχικά πολλαπλασιάζουμε με \[- 1\] την δεύτερη ανίσωση ώστε το \(y\) να μετατραπεί σε \(- y\):
\[5,3 < y < 5,4\]
\[{{({- 1})} \cdot 5,3} > {- y} > {{({- 1})} \cdot 5,4}\]
\[{- 5,3} > {- y} > {- 5,4}\]
και γράφουμε την ανισότητα αντίθετα, ώστε να ταιριάζει με την πρώτη:
\[{- 5,4} < {- y} < {- 5,3}\]
τώρα προσθέτουμε κατά μέλη:
\[4,5 < x < 4,6\quad και \quad {- 5,4} < {- y} < {- 5,3}\]
και έχουμε:
\[{4,5 + {({- 5,4})}} < {x + {({- y})}} < {4,6 + {({- 5,3})}}\]
\[{- 0,9} < {x - y} < {- 0,7}\]
Στην τρίτη περίπτωση (iii) πάλι έχουμε το ίδιο πρόβλημα διότι δεν υπάρχει πουθενά κάποια ιδιότητα που να μας επιτρέπει να διαιρέσουμε κατά μέλη δύο ανισότητες.
Εμείς όμως θα χρησιμοποιήσουμε τον πολλαπλασιασμό του αντιστρόφου γιατί η διαίρεση ορίζεται με αυτόν τον τρόπο.
Επομένως παίρνουμε την δεύτερη ανισότητα:
\[5,3 < y < 5,4\]
την χωρίζουμε στις επιμέρους ανισότητες που αποτελείται:
\[5,3 < y\quad και \quad y < 5,4\]
σε κάθε μία από αυτές πολλαπλασιάζουμε τον θετικό αριθμό \(\frac{1}{y}\) (ο y είναι θετικός διότι μας το λέει η ανισότητα: \(5,3 < y < 5,4\)):
\[{5,3 \cdot \frac{1}{y}} < {y \cdot \frac{1}{y}} \quad και \quad {y \cdot \frac{1}{y}} < {5,4 \cdot \frac{1}{y}}\]
δηλαδή:
\[\frac{5,3}{y} < 1\quad και \quad 1 < \frac{5,4}{y}\]
ακόμα πολλαπλασιάζω την πρώτη με \(\frac{1}{5,3} > 0\) και την δεύτερη με \(\frac{1}{5,4} > 0\), δηλαδή:
\[{\frac{5,3}{y} \cdot \frac{1}{5,3}} < {1 \cdot \frac{1}{5,3}} \quad και \quad {1 \cdot \frac{1}{5,4}} < {\frac{5,4}{y} \cdot \frac{1}{5,4}}\]
επομένως:
\[\frac{1}{y} < \frac{1}{5,3} \quad και \quad \frac{1}{5,4} < \frac{1}{y}\]
και τα τοποθετώ πάλι όλα μαζί:
\[\frac{1}{5,4} < \frac{1}{y} < \frac{1}{5,3}\]
φυσικά εσείς για να καταλήξετε σε αυτή την σχέση μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη εφαρμογή 1i στην σελίδα 58 του σχολικού βιβλίου.
Τώρα θα πάρουμε τις σχέσεις:
\[4,5 < x < 4,6 \quad και \quad \frac{1}{5,4} < \frac{1}{y} < \frac{1}{5,3}\]
που παρατηρούμε ότι πληρούν τις προϋποθέσεις της ιδιότητας και θα τις πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη:
\[{4,5 \cdot \frac{1}{5,4}} < {x \cdot \frac{1}{y}} < {4,6 \cdot \frac{1}{5,3}}\]
\[\frac{45}{54} < \frac{x}{y} < \frac{46}{53}\]
Tέλος για την τέταρτη περίπτωση (iv) εργαζόμαστε ως εξής:
Ξεκινάμε από τις ανισότητες
\[4,5 < x < 4,6\quad και \quad 5,3 < y < 5,4\]
και εφαρμόζω την ιδιότητα υψωσης στην νιοστή δύναμη. Προσέχω ότι ισχύουν οι προϋποθέσεις αυτής της ιδιότητας. Δηλαδή όλες οι βάσεις ( οι αριθμοί 4,5, 4,6, 5,3, 5,4 και τα x,y είναι θετικά και σκοπεύω να υψώσω στην δεύτερη δύναμη ν=2 που είναι ένας θετικός ακέραιος αριθμός). Δηλαδή:
\[4,5^{2} < x^{2} < 4,6^{2}\quad και \quad 5,3^{2} < y^{2} < 5,4^{2}\Leftrightarrow\]
\[20,25 < x^{2} < 21,16\quad και \quad 28,09 < y^{2} < 29,16\]
και τώρα θα προσθέσω κατά μέλη αυτές τις σχέσεις:
\[{{20,25 + 28,09} < {x^{2} + y^{2}} < {21,16 + 29,16}}\Leftrightarrow\]
\[48,34 < {x^{2} + y^{2}} < 29,16\]
Το πλάτος \(x\) και το μήκος \(y\) ενός ορθογωνίου ικανοποιούν τις ανισότητες \(2 < x < 3\) και \(3 < y < 5\). Αν αυξήσουμε το πλάτος κατά 0,2 και ελαττώσουμε το μήκος κατά 0,1, να βρείτε τις δυνατές τιμές:
της περιμέτρου του νέου ορθογωνίου
του εμβαδού του νέου ορθογωνίου
Λύση:
Το νέο πλάτος του ορθογωνίου είναι \(x + 0,2\) ενώ το νέο μήκος θα είναι \(y - 0,1\).
Θα υπολογίσουμε τώρα μεταξύ ποιών τιμών κυμαίνονται το νέο πλάτος και νέο μήκος του ορθογωνίου:
Στις σχέσεις:
\[2 < x < 3\quad και \quad 3 < y < 5\]
προσθέτουμε σε όλα τα μέλη στην μεν πρώτη τον αριθμό \(0,2\) και στην δεύτερη τον \(- 0,1\).
\[{2 + 0,2} < {x + 0,2} < {3 + 0,2}\]
\[{3 - 01} < {y - 0,1} < {5 - 0,1}\]
κάνουμε τις πράξεις:
\[2,2 < {x + 0,2} < 3,2\quad και \quad 2,9 < {y - 01} < 4,9\]
Στο πρώτο ερώτημα (i) για να υπολογίσουμε την περίμετρο του νέου ορθογωνίου θα πάρουμε τον τύπο:
\[L = {{2 \cdot {({\mathit{Ν\varepsilon ο}\mathit{Μή\kappa ο\varsigma}})}} + {2 \cdot {({\mathit{Ν\varepsilon ο}\mathit{\Pi\lambda ά\tau ο\varsigma}})}}}\]
\[{L = 2}{{({x + 0,2})} + 2}{({y - 0,1})}\]
Για να υπολογίσουμε τώρα μεταξύ ποιων τιμών βρίσκεται αυτή η ποσότητα
\[2{{({x + 0,2})} + 2}{({y - 0,1})}\]
θα πάρουμε τις ανισότητες:
\[2,2 < {x + 0,2} < 3,2\quad και \quad 2,9 < {y - 01} < 4,9\]
και θα πολλαπλασιάσουμε σε όλα τα μέλη τον θετικό αριθμό 2:
\[{4,4 < 2}{{({x + 0,2})} < 6,4}\quad και \quad {5,8 < 2}{{({y - 01})} < 9,8}\]
και μετά θα προσθέσουμε κατά μέλη:
\[{10,2 < 2}{{({x + 0,2})} + 2}{{({y - 0,1})} < 16,2}\]
δηλαδή:
\[10,2 < L < 16,2\]
Στο δεύτερο ερώτημα (ii) πρέπει να υπολογίσουμε το εμβαδόν του νέου ορθογωνίου, από τον τύπο:
\[Ε = {{({\mathit{Νέο}\mathit{\Pi\lambda ά\tau ο\varsigma}})} \cdot {({\mathit{Νέο}\mathit{Μή\kappa ο\varsigma}})}}\]
\[{Ε = {({x + 0,2})}}{({y - 01})}\]
Τώρα θα πάρουμε τις σχέσεις:
\[2,2 < {x + 0,2} < 3,2\quad και \quad 2,9 < {y - 01} < 4,9\]
οι οποίες πληρούν τις προϋποθέσεις της ιδιότητας και θα τις πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη:
\[{{2,2 \cdot 2,9} < {({x + 0,2})}}{{({y - 0,1})} < {3,2 \cdot 4,9}}\]
\[6,38 < E < 16,68\]
Αν \(0 \leq \alpha < \beta\), να δείξετε ότι \[\frac{\alpha}{1 + \alpha} < \frac{\beta}{1 + \beta}\]
Λύση:
Στην υπόθεση (δεδομένα) αυτής της άσκησης μας δίνεται ότι \(0 \leq \alpha < \beta\)
Αυτό σημαίνει τα παρακάτω:
\[\alpha \geq 0\quad και \quad \beta > 0\quad και \quad \alpha < \beta\]
τα οποία και σκοπεύουμε να χρησιμοποιήσουμε για να αποδείξουμε ότι η πρόταση
\[\frac{\alpha}{1 + \alpha} < \frac{\beta}{1 + \beta}\]
που είναι στο συμπέρασμα είναι αληθής.
Πριν προχωρήσουμε θα ασχοληθούμε με το πρόσημο των ποσοτήτων
\[1 + \alpha\quad και \quad 1 + \beta\].
Αν στις σχέσεις
\[\beta > 0\quad και \quad \alpha \geq 0\]
προσθέσουμε και στα δύο μέλη τον αριθμό 1 έχουμε:
\[{1 + \beta} > {0 + 1}\quad και \quad {1 + \alpha} \geq {0 + 1}\]
δηλαδή
\[{1 + \beta} > 1\quad και \quad {1 + \alpha} \geq 1\]
δηλαδή και οι δύο αυτές ποσότητες είναι θετικές (αφού είναι μεγαλύτερες από 1). Επομένως είναι και ομόσημες, και σύμφωνα με την ιδιότητα είναι:
\[{({1 + \alpha})}{{({1 + \beta})} > 0}\]
θα πάρουμε τώρα την σχέση:
\[{\frac{\alpha}{1 + \alpha} < \frac{\beta}{1 + \beta}}\Leftrightarrow\]
που ακόμα δεν γνωρίζουμε αν είναι αληθής ή ψευδής και θα κάνουμε πράξεις που μπορούν αν γίνουν και αντίθετα (ισοδυναμία):
Θα πολλαπλασιάσουμε και στα δύο μέλη την θετική ποσότητα \({({1 + \alpha})}{{({1 + \beta})} > 0}\)
\[{({1 + \alpha})}{({1 + \beta})}{\frac{\alpha}{1 + \alpha} < {({1 + \alpha})}}{({1 + \beta})}\frac{\beta}{1 + \beta}\Leftrightarrow\]
κάνουμε τις απλοποιήσεις:
\[\alpha{{({1 + \beta})} < \beta}{({1 + \alpha})}\Leftrightarrow\]
\[{{\alpha + \mathit{\alpha\beta}} < {\beta + \mathit{\alpha\beta}}}\Leftrightarrow\]
προσθέτω και στις δύο πλευρές το \[- \mathit{\alpha\beta}\]
\[{{\alpha + \mathit{\alpha\beta} - \mathit{\alpha\beta}} < {\beta + \mathit{\alpha\beta} - \mathit{\alpha\beta}}}\Leftrightarrow\]
\[\alpha < \beta\]
η οποία είναι μία αληθής πρόταση αφού μας το εγγυάται η εκφώνηση της άσκησης στην υπόθεση (δεδομένα).
Λόγω των ισοδυναμιών θα είναι αληθής και η αρχική πρόταση που θέλουμε να δείξουμε.
Να βρείτε το λάθος στους παρακάτω συλλογισμούς:
Έστω \(x > 5\) . Τότε έχουμε διαδοχικά
\[x > 5\]
\[5{x > 25}\]
\[5x‒{x^{2} > 25}‒x^{2}\]
\[x{{({5‒x})} > {({5 + x})}}{({5‒x})}\]
\[x > {5 + x}\]
\[0 > 5\]
Λύση:
Παρατηρούμε ότι το αποτέλεσα στην τελευταία γραμμή είναι ψευδές. Θα εξετάσουμε λοιπόν όλες τις γραμμές για να βρούμε το λάθος.
Από την πρώτη στην δεύτερη γραμμή έχουμε σωστή ισοδυναμία, αφού πολλαπλασιάζουμε και στις δύο πλευρές τον θετικό αριθμό 5, ιδιότητα :
\[x > 5\Leftrightarrow5{x > {5 \cdot 5}}\Leftrightarrow\]
\[5{x > 25}\]
Από την δεύτερη προς την τρίτη γραμμή έχουμε σωστή ισοδυναμία, αφού προσθέτουμε και στα δύο μέλη τον αριθμό \(- x^{2}\).
\[5{x > 25}\Leftrightarrow5{{x - x^{2}} > {25 - x^{2}}}\]
Στην επόμενη γραμμή έχουμε τις σωστές πράξεις. Κοινός παράγοντας και διαφορά τετραγώνου:
\[5{{x - x^{2}} > {25 - x^{2}}}\Leftrightarrow x{{({5 - x})} > {({5 - x})}}{({5 + x})}\]
Στην επόμενη γραμμή προσπαθούμε να πολλαπλασιάσουμε και στα δύο μέλη με τον αριθμό \(\frac{1}{5 - x}\) με σκοπό να γίνει η απλοποίηση. Όμως θα έπρεπε να έχουμε εξετάσει το πρόσημο του αριθμού που πολλαπλασιάζουμε. Επομένως:
\[{x > 5}\Leftrightarrow{{5 - x} < 0}\]
και έτσι
\[\frac{1}{5 - x} < 0\]
Άρα θα πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη με έναν αρνητικό αριθμό, επομένως:
\[x{{({5 - x})} > {({5 - x})}}{({5 + x})}\Leftrightarrow\]
\[x{({5 - x})}{\frac{1}{5 - x} < {({5 - x})}}{({5 + x})}\frac{1}{5 - x}\Leftrightarrow\]
Δηλαδή σε αυτό το σημείο άλλαξε η κατεύθυνση της ανισότητας. Μετά απλοποιούμε:
\[x < {5 + x}\Leftrightarrow\]
προσθέτουμε και στις δύο πλευρές το \(- x\):
\[{{x - x} < {5 + x - x}}\Leftrightarrow\]
\[0 < 5\]
που ισχύει.
Δίνονται ένα κλάσμα \(\frac{\alpha}{\beta}\) με θετικούς όρους και ένας θετικός αριθμός γ.
Να αποδείξετε ότι:
\[\frac{\alpha + \gamma}{\beta + \gamma} > \frac{\alpha}{\beta}\]
\[\frac{\alpha + \gamma}{\beta + \gamma} < \frac{\alpha}{\beta}\]
Λύση:
Στα δεδομένα (υπόθεση) αυτής της άσκησης έχουμε ότι \[\alpha > 0 \quad και \quad \beta > 0\quad και \quad \frac{\alpha}{\beta} > 0\quad και \quad \gamma > 0\]
Σχετικά με το πρώτο ερώτημα (i) έχουμε ακόμα ότι
\[\frac{\alpha}{\beta} < 1\] ή \[\alpha < \beta\]
ως αληθές από την υπόθεση.
Ξεκινάμε από την ανισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε. Αυτή την στιγμή δεν γνωρίζουμε αν είναι αληθής ή ψευδής.
\[\frac{\alpha + \gamma}{\beta + \gamma} > \frac{\alpha}{\beta}\Leftrightarrow\]
πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με την θετική ποσότητα: \(\beta{{({\beta + \gamma})} > 0}\). Είναι θετική αφού το β είναι θετικό και το β+γ είναι και αυτό θετικό ως άθροισμα θετικών ποσοτήτων.
\[{\frac{\alpha + \gamma}{\beta + \gamma} \cdot \beta}{{({\beta + \gamma})} > {\frac{\alpha}{\beta} \cdot \beta}}{({\beta + \gamma})}\Leftrightarrow\]
\[\beta{{({\alpha + \gamma})} > \alpha}{({\beta + \gamma})}\Leftrightarrow\]
\[{{\mathit{\alpha\beta} + \mathit{\beta\gamma}} > {\mathit{\alpha\beta} + \mathit{\alpha\gamma}}}\Leftrightarrow\]
\[{\mathit{\beta\gamma} > \mathit{\alpha\gamma}}\Leftrightarrow\]
πολλαπλασιάζω με \(\frac{1}{\gamma} > 0\)
\[\beta > \alpha\]
που είναι αληθές από την υπόθεση, επομένως αφού έχουμε χρησιμοποιήσει τις ισοδυναμίες θα είναι αληθές και η πρώτη πρόταση που θέλουμε να δείξουμε ως αληθής.
Προφανώς η δεύτερη περίπτωση (ii) είναι ακριβώς ανάλογη με την πρώτη με διαφορά την κατεύθυνση των ανισοτήτων. Σας την αφήνω να την κάνετε σαν εφαρμογή.
Αν \(\alpha > 1 > \beta\), να αποδείξετε ότι
\[{\alpha + \beta} > {1 + \mathit{\alpha\beta}}\].
Λύση:
Στην υπόθεση έχουμε ότι
\[\alpha > 1 > \beta\]
αυτό σημαίνει τα εξής:
\[\alpha > 1\] (και επομένως το \(α\) είναι θετικός), \[\beta < 1\quad και \quad \alpha > \beta\]
Αρχίζουμε με την πρόταση που μας δίνεται να αποδείξουμε ότι είναι αληθής. Αυτή την στιγμή δεν το γνωρίζουμε ακόμα.
\[{\alpha + \beta} > {1 + \mathit{\alpha\beta}}\Leftrightarrow\]
προσθέτω και στις δύο πλευρές το -1 και μετά το \(- \mathit{\alpha\beta}\) και μετά τις πράξεις έχουμε:
\[{\alpha + \beta - \mathit{\alpha\beta} - 1} > 0\Leftrightarrow\]
\[{{{({\alpha - \mathit{\alpha\beta}})} + {({\beta - 1})}} > 0}\Leftrightarrow\]
\[\alpha{{{({1 - \beta})} + {({\beta - 1})}} > 0}\Leftrightarrow\]
\[{({1 - \beta})}{{({\alpha - 1})} > 0}\]
που είναι αληθής διότι
\[{\alpha > 1}\Leftrightarrow{{\alpha - 1} > 0}\]
και
\[{\beta < 1}\Leftrightarrow{0 < {1 - \beta}}\]
δηλαδή και οι δύο ποσότητες είναι θετικές (ομόσημες).
Αν α, β θετικοί αριθμοί, να δείξετε ότι
\[{({\alpha + \beta})}{{({\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}})} \geq 4}\].
Λύση:
Αρχίζω με την παράσταση που θέλω να αποδείξω ότι είναι αληθής:
\[{({\alpha + \beta})}{{({\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}})} \geq 4}\Leftrightarrow\]
κάνω τις πράξεις μέσα στην δεύτερη παρένθεση:
\[{({\alpha + \beta})}{\frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} \geq 4}\Leftrightarrow\]
πολλαπλασιάζουμε και στα δύο μέλη την θετική ποσότητα \(\mathit{\alpha\beta} >0\) αφού \(\alpha > 0\) και \(\beta > 0\) (ομόσημοι).
\[{({\alpha + \beta})}\frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}\alpha{\beta \geq 4}\alpha\beta\Leftrightarrow\]
\[{{({\alpha + \beta})}^{2} \geq 4}\alpha\beta\Leftrightarrow\]
\[{\alpha^{2} + 2}{\mathit{\alpha\beta} + \beta^{2} - 4}{\mathit{\alpha\beta} \geq 0}\Leftrightarrow\]
\[{\alpha^{2} - 2}{{\mathit{\alpha\beta} + \beta^{2}} \geq 0}\Leftrightarrow\]
\[{({\alpha - \beta})}^{2} \geq 0\]
που είναι πάντα αληθής. Επομένως λόγω της χρήσης των ισοδυναμιών θα είναι αληθής και η πρώτη πρόταση.
Να αποδείξετε ότι:
\[{\alpha^{2} + \mathit{\alpha\beta} + \beta^{2}} \geq 0\]
\[{\alpha^{2} - \mathit{\alpha\beta} + \beta^{2}} \geq 0\]
Λύση:
Για να αποδείξουμε την πρώτη περίπτωση (i) ξεκινάμε από την ανισότητα που μας δίνεται:
\[{\alpha^{2} + \mathit{\alpha\beta} + \beta^{2}} \geq 0\Leftrightarrow\]
πολλαπλασιάζω με το 2 και τα δύο μέλη:
\[2{\alpha^{2} + 2}{\mathit{\alpha\beta} + 2}{\beta^{2} \geq {2 \cdot 0}}\Leftrightarrow\]
\[{\alpha^{2} + \alpha^{2} + 2}{{\mathit{\alpha\beta} + \beta^{2} + \beta^{2}} \geq 0}\Leftrightarrow\]
\[{{{({{\alpha^{2} + 2}{\mathit{\alpha\beta} + \beta^{2}}})} + \alpha^{2} + \beta^{2}} \geq 0}\Leftrightarrow\]
\[{{({\alpha + \beta})}^{2} + \alpha^{2} + \beta^{2}} \geq 0\]
η τελευταία αυτή σχέση είναι αληθής. Επομένως θα είναι αληθής και η πρώτη λόγω των ισοδυναμιών.
Για να αποδείξουμε την δεύτερη περίπτωση (ii) εργαζόμαστε αναλόγως. Σαν την αφήνω ως εφαρμογή του προηγούμενου ερωτήματος.