Α Λυκείου ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΡΩΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1 (Άσκηση Γ1 σελ. 76)

Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ και δ. Διαφορετικά να κυκλώσετε το γράμμα Ψ.

1. \({({{\alpha = \beta}\quad\mathit{\kappa\alpha\iota}\quad {\gamma = \delta}})}\Leftrightarrow{{\alpha + \gamma} = {\beta + \delta}}\) Η πρόταση είναι ψευδής, διότι ενώ είναι αληθές το ορθό δεν ισχύει το αντίστροφο. Σαν αντιπαράδειγμα του αντιστρόφου έχουμε ότι εάν \({2 + 3} = {1 + 4}\) δεν ισχύει ότι \(({{2 = 1}\quad \mathit{\kappa\alpha\iota}\quad {3 = 4}})\)

2. Αν \({\alpha^{2} = \mathit{\alpha\beta}}, \quad \mathit{\tau ό\tau\varepsilon}\quad {\alpha = \beta}\) Η πρόταση είναι ψευδής διότι εν παραδείγματι δεν ισχύει για \(\alpha = 0\) και \(\beta = 1\). Η πρόταση ισχύει για \(\alpha \neq 0\)

3. \({({\alpha + \beta})}^{2} = {\alpha^{2} + \beta^{2}}\) Προφανώς ψευδής. Σαν αντιπαράδειγμα για \(\alpha = 1\) και \(\beta = 2\) είναι \({({1 + 2})}^{2} \neq {1^{2} + 3^{2}}\). Το σωστό είναι \({{({\alpha + \beta})}^{2} = {\alpha^{2} + 2}}{\mathit{\alpha\beta} + \beta^{2}}\).

4. Το άθροισμα δύο άρρητων αριθμών είναι επίσης άρρητος αριθμός. Η πρόταση είναι ψευδής αφού μπορούμε να φέρουμε το εξής αντιπαράδειγμα: Αν \(\alpha = \sqrt{2}\) και \(\beta = {- \sqrt{2}}\) τότε \({\alpha + \beta} = 0 = \frac{0}{1}\) που είναι ρητός.

5. Το γινόμενο δύο άρρητων αριθμών είναι επίσης άρρητος αριθμός. Η πρόταση είναι ψευδής αφού μπορούμε να φέρουμε το εξής αντιπαράδειγμα: Αν \(\alpha = \sqrt{2}\) και \(\beta = {- \sqrt{2}}\) τότε \(\mathit{\alpha\beta} = {- 2} = \frac{- 2}{1}\) που είναι ρητός.

6. Αν \(\alpha > \beta\) και \(\gamma < \delta\), τότε \({\alpha - \gamma} > {\beta - \delta}\). Η πρόταση είναι αληθής, διότι \({\gamma < \delta}{{\Leftrightarrow - \gamma} > {- \delta}}\) και όταν προσθέσω κατά μέλη έχω \({\alpha + {({- \gamma})}} > {\beta + {({- \delta})}}\), δηλαδή \({\alpha - \gamma} > {\beta - \delta}\).

7. \(a^{2} > \mathit{\alpha\beta}\), τότε \(\alpha > \beta\). Η πρόταση είναι ψευδής διότι ισχύει για \(\alpha > 0\) και \(\mathit{\alpha\beta} > 0\), π.χ. για \(\alpha = {- 2}\) και \(\beta = {- 1}\) είναι: \({({- 2})}^{2} > {{({- 1})} \cdot {({- 2})}}\), τότε \({- 2} > {- 1}\).

8. Αν \(\frac{\alpha}{\beta} > 1\), τότε \(\alpha > \beta\). Είναι ψευδής διότι π.χ. για α=-2 και β=-1 έχουμε \(\frac{- 2}{- 1} > 1\) , τότε \({- 2} > {- 1}\). Η πρόταση είναι αληθής για \(\beta > 0\) και \(\mathit{\alpha\beta} > 0\).

9. Αν \(\alpha > \beta\) και \(\alpha > {- \beta}\), τότε \(\alpha > 0\). Η πρόταση είναι αληθής, διότι εάν προσθέσουμε κατά μέλη τις δύο ανισότητες της υπόθεσης έχουμε \({\alpha + \alpha} > {\beta + {({- \beta})}}\) ή \(2{\alpha > 0}\) ή \(\alpha > 0\).

10. Αν \(\alpha > \frac{1}{\alpha}\), τότε \(\alpha > 1\). Η πρόταση είναι ψευδής διότι για παράδειγμα δεν ισχύει για \(\alpha = {- \frac{1}{2}}\) αφού: Αν \({- \frac{1}{2}} > \frac{1}{- \frac{1}{2}}\), τότε \({- \frac{1}{2}} > 1\).

11. Αν \(\alpha < \beta < 0\), τότε \(\alpha^{2} > \beta^{2}\). Η πρόταση είναι αληθής, διότι: \(\alpha < \beta < 0\) \(\Rightarrow\) \({- \alpha} > {- \beta} > 0\) \(\Rightarrow\) \({({- \alpha})}^{2} > {({- \beta})}^{2}\) \(\Rightarrow\) \(a^{2} > \beta^{2}\).

12. Αν \(\alpha > {- 2}\) και \(\beta > {- 3}\), τότε \(\mathit{\alpha\beta} > 6\). Η πρόταση είναι ψευδής, διότι για παράδειγμα για α=1 και β=3 δεν ισχύει.

13. Αν \(\alpha < {- 2}\) και \(\beta < {- 3}\), τότε \(\mathit{\alpha\beta} > 6\). Η πρόταση είναι αληθής, διότι: \(\alpha < {- 2}\) \(\Leftrightarrow\)\(a > 2\) και ακόμα \(\beta < {- 3}\) \(\Leftrightarrow\) \(\beta > 3\). Επομένως \(\mathit{\alpha\beta} > {2 \cdot 3}\)

14. \(4{\alpha^{2} - 20}{\mathit{\alpha\beta} + 25}{\beta^{2} \geq 0}\). Η πρόταση είναι αληθής διότι \(4{\alpha^{2} - 20}{\mathit{\alpha\beta} + 25}{\beta^{2} \geq 0}\) \(\Leftrightarrow\) \({({2{\alpha - 5}\beta})}^{2} \geq 0\) που ισχύει πάντα.

15. \({{({\alpha - 1})}^{2} + {({\alpha + 1})}^{2}} > 0\). Η πρόταση είναι αληθής διότι δεν υπάρχει α που να πληρεί ταυτόχρονα τις σχέσεις \({\alpha - 1} = 0\) και \({\alpha + 1} = 0\).

16. \({{({\alpha^{2} - 1})}^{2} + {({\alpha + 1})}^{2}} > 0\). Η πρόταση είναι ψευδής διότι δεν ισχύει για \(\alpha = {- 1}\).

17. \({{({\alpha + \beta})}^{2} + {({\alpha - \beta})}^{2}} = 0\) \(\Leftrightarrow\) \(\alpha = \beta = 0\). Η πρόταση είναι αληθής, διότι είναι \({\alpha + \beta} = 0\) και \({\alpha - \beta} = 0\), δηλαδή \(\alpha = \beta = 0\).

18. \(\mathit{\alpha\beta} \geq 0\), τότε \(\left| {\alpha + \beta} \right| = {|\alpha| + |\beta|}\). Η πρόταση είναι αληθής διότι έχουμε: \(\left| {\alpha + \beta} \right| = {|\alpha| + |\beta|}\) \(\Leftrightarrow\) \(\left| {\alpha + \beta}^{2} \right| = {({|a| + |\beta|})}^{2}\)\(\Leftrightarrow\)\({{({\alpha + \beta})}^{2} = {|a|^{2} + 2}}|a|{|\beta| + |\beta|^{2}}\)\(\Leftrightarrow\)\({\alpha^{2} + 2}{{\mathit{\alpha\beta} + \beta^{2}} = {\alpha^{2} + 2}}{\left| {a\beta} \right| + \beta^{2}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\mathit{\alpha\beta} = \left| \mathit{\alpha\beta} \right|\) \(\Leftrightarrow\) \(\mathit{\alpha\beta} \geq 0\).

19. Αν \(\alpha^{2} = \beta\), τότε \(\alpha = \sqrt{\beta}\). Η πρόταση είναι ψευδής, διότι η αρχική εξίσωση έχει δύο λύσεις τις \(\alpha = {\pm \sqrt{\beta}}\). Η πρόταση θα ήταν αληθής μόνο για \(\beta = 0\).

20. \(\sqrt{\alpha} = \alpha\). Η πρόταση είναι ψευδής, το σωστό είναι \(\sqrt{\alpha} = |\alpha|\).

21. Αν \(\alpha \geq 0\), τότε \({(\sqrt{\alpha})}^{2} = \alpha\). Η πρόταση είναι αληθής από τον ορισμό.

22. Αν \(\mathit{\alpha\beta} \geq 0\), τότε μπορούμε πάντοτε να γράφουμε \(\sqrt{\mathit{\alpha\beta}} = {\sqrt{\alpha} \cdot \sqrt{\beta}}\). Η πρόταση είναι ψευδής διότι το \(\mathit{\alpha\beta} \geq 0\)δηλώνει ότι τα α και β είναι και τα δύο θετικά ή και τα δύο αρνητικά. Όμως δεν μπορεί στις υπόριζες ποσότητες να έχουμε αρνητικούς αριθμούς.

23. Αν \(\beta \geq 0\), τότε \(\sqrt{\alpha^{2} \cdot \beta} = {\alpha \cdot \sqrt{\beta}}\). Η πρόταση είναι ψευδής. Είναι \(\sqrt{\alpha^{2} \cdot \beta} = {|\alpha| \cdot \sqrt{\beta}}\).

24. \(\sqrt{\alpha^{2} + \beta^{2}} = {\alpha + \beta}\). Η πρόταση είναι ψευδής διότι δεν ισχύει π.χ. για α=1 και β=2.

25. Αν \(\alpha \geq 0\), τότε μπορούμε πάντοτε να γράφουμε \(\sqrt[6]{\alpha^{3}} = \sqrt{\alpha}\). Η πρόταση είναι αληθής. \(\alpha^{\frac{3}{6}} = \alpha^{\frac{1}{2}}\).

26. Μπορούμε πάντοτε να γράφουμε \(\sqrt[4]{\alpha^{2}} = \sqrt{\alpha}\). Η πρόταση είναι ψευδής, διότι δεν ισχύει π.χ. για \(\alpha = {- 1}\). Σύμφωνα με τον ορισμό δεν ορίζεται η \(\sqrt{- 1}\). Είναι \(\sqrt[4]{\alpha^{2}} = \sqrt{|\alpha|}\).

27. \(5^{25} > 25^{5}\). Η πρόταση είναι αληθής διότι \(5^{25} > 25^{5}\)\(\Leftrightarrow\)\(5^{25} > 5^{10}\).

28. \(11^{22} > 22^{11}\). Η πρόταση είναι αληθής διότι: \(11^{22} > 22^{11}\) \(\Leftrightarrow\) \(11^{22} > {({2 \cdot 11})}^{11}\) \(\Leftrightarrow\)\(11^{22} > {2^{11} \cdot 11^{11}}\) \(\Leftrightarrow\) \(11^{11} > 2^{11}\) \(\Leftrightarrow\) \(11 > 2\).

ΑΣΚΗΣΗ 2 (Άσκηση Γ2 σελ. 77)

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις.

1. Αν \(2 < x < 5\) τότε η παράσταση \(\left| {x - 2} \right| + \left| {x - 5} \right|\) είναι ίση με:

(Α) \(2{x - 7}\), (Β) \({7 - 2}x\), (Γ) \(- 3\), (Δ) \(3\)

Είναι \(2 < x\) ή \(0 < {x - 2}\) και x<5 ή \({x - 5} < 0\), επομένως \(\left| {x - 2} \right| + \left| {x - 5} \right|\) \({} = {}\) \(x - 2 - x + 5\) \({} = {}\) \(3\). Σωστή απάντηση είναι η Δ.

2. Αν \(10 < x < 20\) τότε η τιμή της παράστασης \(\frac{\left| {x - 10} \right|}{x - 10} + \frac{\left| {x - 20} \right|}{x - 20}\) είναι ίση με:

(Α) 2, (Β) -2, (Γ) 10, (Δ) 0

Είναι \({x - 10} > 0\) και \({x - 20} < 0\), επομένως: \(\frac{\left| {x - 10} \right|}{x - 10} + \frac{\left| {x - 20} \right|}{x - 20}\) \({} = {}\) \(\frac{x - 10}{x - 10} + \frac{- {({x - 20})}}{x - 20}\) \({} = {}\) \(1 - 1\) \({} = {}\) \(0\). Σωστή απάντηση είναι η Δ.

3. Αν \(\alpha = \sqrt[6]{10}\), \(\beta = \sqrt{2}\) και \(\gamma = \sqrt[3]{3}\) τότε

(Α) \(\alpha < \beta < \gamma\), (Β) \(\alpha < \gamma < \beta\), (Γ) \(\gamma < \alpha < \beta\), (Δ) \(\beta < \gamma < \alpha\)

Είναι \(\alpha = \sqrt[6]{10} = 10^{\frac{1}{6}}\), \(\beta = \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{6}} = 8^{\frac{1}{6}}\) και \(\gamma = \sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{2}{6}} = 9^{\frac{1}{6}}\). Επομένως \(\beta < \gamma < \alpha\). Σωστή απάντηση είναι η Δ.

4. Ο αριθμός \(\sqrt{{9 + 4}\sqrt{5}}\) είναι ίσος με:

(Α) \({3 + 2}\sqrt{5}\), (Β) \({3 + 2}\sqrt[4]{5}\), (Γ) \(2 + \sqrt{5}\), (Δ) \(2 + \sqrt[4]{5}\)

Παρατηρούμε ότι: \({{({2 + \sqrt{5}})}^{2} = {4 + 4}}{{\sqrt{5} + 5} = {9 + 4}}\sqrt{5}\) Επομένως: \(\sqrt{{9 + 4}\sqrt{5}} = \sqrt{{({2 + \sqrt{5}})}^{2}} = {2 + \sqrt{5}}\). Σωστή απάντηση είναι η Γ.

ΑΣΚΗΣΗ 3 (Άσκηση Γ3 σελ. 77)

Στον παρακάτω άξονα τα σημεία Ο, Ι, Α και Β παριστάνουν τους αριθμούς 0, 1, α και β αντιστοίχως, με \(0 < \alpha < 1\) και \(\beta > 1\), ενώ τα σημεία Γ, Δ, Ε, Ζ, Η και Θ παριστάνουν τους αριθμούς \(\sqrt{\alpha}\), \(\sqrt{\beta}\), \(\alpha^{2}\) , \(\beta^{2}\), \(\alpha^{3}\) και \(\beta^{3}\), όχι όμως με τη σειρά που αναγράφονται. Να αντιστοιχίσετε τα σημεία Γ, Δ, Ε, Ζ, Η και Θ με τους αριθμούς που παριστάνουν.

Παρατηρούμε ότι:

• \({\alpha < 1}\Leftrightarrow{a^{3} < a^{2}}\) γιατί πολλαπλασιάσαμε με \(\alpha^{2} > 0\)
• \({\alpha < 1}\Leftrightarrow{a^{2} < a}\) γιατί πολλαπλασιάσαμε με \(\alpha > 0\)
• \({\alpha^{2} < \alpha}\Leftrightarrow{\sqrt{a^{2}} < \sqrt{a}}\Leftrightarrow{a < \sqrt{a}}\)
• \({\beta > 1}\Leftrightarrow{\beta^{2} > \beta}\Leftrightarrow{\beta^{3} > \beta^{2}}\)
• \({\beta^{2} > \beta}\Leftrightarrow{\sqrt{\beta^{2}} < \sqrt{\beta}}\Leftrightarrow{\beta < \sqrt{\beta}}\)

Από τις τελευταίες σχέσεις προκύπτει:

\(\alpha^{3} < \alpha^{2} < \sqrt{\alpha} < \sqrt{\beta} < \beta^{2} < \beta^{3}\)