10 Νοεμβρίου 2025
Σημειώσεις Μαθηματικών Α Λυκείου, λύσεις των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου και αναλυτική θεωρία. Στην ενότητα αυτή αναλύονται οι πράξεις και οι ιδιότητες των πραγματικών αριθμών.
Θεωρώ ότι η ύλη της Α Λυκείου όπως έχει αυτή εμπλουτιστεί με την Τράπεζα Θεμάτων είναι αρκετά εκτενής και ο χρόνος εκμάθησης της μικρός.
Επομένως, αποφάσισα να διδάξω σε πρώτη φάση την θεωρία και τις ασκήσεις του σχολικού βιβλίου με όσο μεγαλύτερη λεπτομέρεια γίνεται, χωρίς πλατειασμούς σε άλλα πεδία . Εξάλλου αυτή είναι και η εξεταστέα ύλη. Σε επόμενη φάση διδάσκω τις ασκήσεις της Τράπεζας.
Αν ο μαθητής ή η μαθήτρια έχει μαθησιακά κενά από τις προηγούμενες τάξεις τότε εξατομικευμένα επαναλαμβάνουμε μερικά τμήματα της ύλης των προηγούμενων τάξεων.
Μεγάλη έμφαση θα πρέπει να δοθεί ώστε ο μαθητής ή η μαθήτρια να κατακτήσει τον μαθηματικό φορμαλισμό και τον αφαιρετικό τρόπο γραφής. Παρόλα αυτά έχω διατυπώσει τις λύσεις και την θεωρία με επιπλέον πληροφορίες από ότι ένας μαθηματικός οφείλει να κάνει. Ο λόγος είναι καθαρά εκπαιδευτικός.
Φιλικά
Κουμουνδούρος Γιάννης Σπάρτη, 6 Οκτωβρίου 2025
Φυσικοί είναι οι αριθμοί:
\[{{\mathbb{N}} = \{}0,1,2,3,...\}\]
Ακέραιοι είναι οι αριθμοί
\[{\mathbb{Z}} = {{... - 3}{, - 2}{, - 1,0,1,2,3},...}\]
Ρητοί είναι οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν με μορφή κλάσματος, όπου ο αριθμητής και ο παρανομαστής είναι ακέραιοι και ο παρανομαστής δεν πρέπει να είναι μηδέν.
\[{{\mathbb{Q}} = \{}\frac{a}{\beta}:\alpha,{\beta \in {\mathbb{Z}}},{\beta \neq 0}\}\]
Μπορούμε να τους χρησιμοποιήσουμε για να κάνουμε απλοποιήσεις μέσα σε αριθμητικές παραστάσεις.
Άρρητοι είναι οι αριθμοί που δεν είναι ρητοί.
Ενώ πραγματικοί αριθμοί (\(\mathbb{R}\)) είναι όλοι οι αριθμοί (οι ρητοί και οι άρρητοι).
Θετικοί είναι οι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν, αλλά δεν είναι το μηδέν. Αντίστοιχα αρνητικοί είναι οι αριθμοί που είναι μικρότεροι από το μηδέν και δεν είναι το μηδέν.
Μη αρνητικοί είναι οι θετικοί αριθμοί μαζί με το μηδέν, ενώ μη θετικοί είναι οι αρνητικοί αριθμοί μαζί με το μηδέν.
Αντίθετος ενός αριθμού \(\alpha\) είναι αυτός ο αριθμός που αν τον προσθέσουμε με το α μάς δίνει άθροισμα μηδέν. Τον συμβολίζουμε με \(- \alpha\), Δηλαδή.
\[{\alpha + {({- \alpha})}} = 0\]
Αντίστροφος ενός αριθμού α είναι ο αριθμός που αν τον πολλαπλασιάσουμε με το α μας δίνει γινόμενο 1. Τον συμβολίζουμε με \(\frac{1}{a}\), Δηλαδή:
\[{a \cdot \frac{1}{a}} = 1\]
Υπάρχουν μόνο δύο πράξεις η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός. Η αφαίρεση ορίζεται ως η πρόσθεση του αντιθέτου ενώ η διαίρεση ως ο πολλαπλασιασμός με τον αντίστροφο.
Ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης είναι το μηδέν γιατί όποιον αριθμό α προσθέσουμε με το μηδέν δίνει πάλι τον ίδιο αριθμό α, δηλαδή:
\[{a + 0} = a\]
Ουδέτερο στοιχείο στον πολλαπλασιασμό είναι το 1, γιατί όποιον αριθμό α πολλαπλασιάσουμε με το 1 δίνει πάλι τον ίδιο αριθμό α, δηλαδή:
\[{a \cdot 1} = a\]
Για να προσθέσουμε δύο αριθμούς α και β, βρίσκουμε αρχικά το πρόσημο του αθροίσματος από το πρόσημο του αριθμού που έχει την μεγαλύτερη απόλυτη τιμή και μετά κάνουμε πρόσθεση αν οι αριθμοί είναι ομόσημοι, ενώ κάνουμε αφαίρεση αν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι, π.χ.
\[{{({+ 2})} + {({+ 3})}} = {+ 5}\]
\[{{({- 2})} + {({+ 3})}} = {+ 1}\]
\[{{({- 2})} + {({- 3})}} = {- 5}\]
\[{{({+ 2})} + {({- 3})}} = {- 1}\]
Για να αφαιρέσουμε δύο αριθμούς, προσθέτουμε τον αντίθετο, δηλαδή:
\[{{({+ \alpha})} - {({+ \beta})}} = {{({+ \alpha})} + {({- \beta})}}\]
Για να πολλαπλασιάσουμε δύο αριθμούς, βάζουμε στο γινόμενο θετικό πρόσημο αν οι αριθμοί είναι ομόσημοι και αρνητικό αν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι και μετά κάνουμε τον πολλαπλασιασμό κανονικά, π.χ.
\[{{({+ 2})} \cdot {({+ 3})}} = {+ 6}\]
\[{{({- 2})} \cdot {({+ 3})}} = {- 6}\]
\[{{({- 2})} \cdot {({- 3})}} = {+ 6}\]
\[{{({+ 2})} \cdot {({- 3})}} = {- 6}\]
Για να διαιρέσουμε δύο αριθμούς \(\alpha\) και \(\beta \neq 0\) μετατρέπουμε την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό αφού αντιστρέψουμε τον δεύτερο, δηλαδή:
\[\alpha:{\beta = \frac{\alpha}{\beta} = {\alpha \cdot \frac{1}{\beta}}}\]
Προσέχουμε πάρα πολύ, γιατί δεν ορίζεται η διαίρεση με το μηδέν.
Αντιμεταθετική ιδιότητα στην πρόσθεση ή στον πολλαπλασιασμό είναι η ιδιότητα που μας επιτρέπει να προσθέτουμε ή να πολλαπλασιάζουμε δύο αριθμούς με όποια σειρά θέλουμε:
\[{a + \beta} = {\beta + a}\]
\[{a \cdot \beta} = {\beta \cdot a}\]
Προσεταιριστική ιδιότητα στην πρόσθεση ή στον πολλαπλασιασμό είναι η ιδιότητα που μας επιτρέπει να προσθέσουμε ή να πολλαπλασιάσουμε τρεις αριθμούς με όποια σειρά θέλουμε:
\[{{({\alpha + \beta})} + \gamma} = {\alpha + {({\beta + \gamma})}}\]
\[{{({\alpha \cdot \beta})} \cdot \gamma} = {\alpha \cdot {({\beta \cdot \gamma})}}\]
Οι παρενθέσεις καθορίζουν την σειρά των πράξεων. Έχουν προτεραιότητα οι εσωτερικές παρενθέσεις. Παρενθέσεις και αγκύλες είναι ισοδύναμες. Γενικά οι πράξεις πρέπει να εκτελούνται με την παρακάτω σειρά (προτεραιότητα πράξεων):
Επιμεριστική ιδιότητα είναι η παρακάτω:
\[{\alpha \cdot {({\beta + \gamma})}} = {{\alpha \cdot \beta} + {\alpha \cdot \gamma}}\]
Οι δυνάμεις ορίζονται με τους παρακάτω τύπους:
\[\alpha^{0} = 1\]
\[\alpha^{1} = \alpha\]
\[{\alpha^{\nu} = {\alpha \cdot \alpha \cdot \alpha \cdot}}...{\cdot \alpha}, \quad \nu > 1\]
\[\alpha^{- \nu} = \frac{1}{\alpha^{\nu}}\]
και έχουν τις παρακάτω ιδιότητες:
\[{({\alpha \cdot \beta})}^{\nu} = {\alpha^{\nu} \cdot \beta^{\nu}}\]
\[{(\frac{\alpha}{\beta})}^{\nu} = \frac{\alpha^{\nu}}{\beta^{\nu}}\]
\[{\alpha^{\kappa} \cdot \alpha^{\lambda}} = \alpha^{\kappa + \lambda}\]
\[\frac{\alpha^{\kappa}}{\alpha^{\lambda}} = \alpha^{\kappa - \lambda}\]
\[{(\alpha^{\kappa})}^{\lambda} = \alpha^{\kappa \cdot \lambda}\]
Δίνεται η παράσταση:
\[{Α = {\lbrack{{({x^{2}y^{3}})}^{- 2} \cdot {({xy^{3}})}^{4}}\rbrack}}:{(\frac{x^{3}}{y^{- 1}})}^{- 3}\]
Να δείξετε ότι \[Α = {x^{9} \cdot y^{9}}\]
Να βρείτε την τιμή της παράστασης για \(x = 2010\) και \(y = \frac{1}{2010}\)
Λύση:
\[{Α = {\lbrack{{({x^{2}y^{3}})}^{- 2} \cdot {({xy^{3}})}^{4}}\rbrack}}:{(\frac{x^{3}}{y^{- 1}})}^{- 3}\]
Μετατρέπω την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό:
\[Α = {{({x^{2}y^{3}})}^{- 2} \cdot {({xy^{3}})}^{4} \cdot {(\frac{y^{- 1}}{x^{3}})}^{- 3}}\]
Εφαρμόζω τις ιδιότητες των δυνάμεων και έχω διαδοχικά:
\[Α = {x^{- 4} \cdot y^{- 6} \cdot x^{4} \cdot y^{12} \cdot \frac{y^{3}}{x^{- 9}}}\]
\[Α = {x^{{- 4} + 4 + 9} \cdot y^{{- 6} + 12 + 3}} = {x^{9} \cdot y^{9}}\]
\[Α = {x^{9} \cdot y^{9}} = {({x \cdot y})}^{9}\]
Θέτω \(x = 2010\) και \(y = \frac{1}{2010}\) και κάνω πράξεις:
\[Α = {({2010 \cdot \frac{1}{2010}})}^{9} = 1^{9} = 1\]
Να βρείτε την τιμή της παράστασης
\[A = {\lbrack{{(\mathit{xy}^{- 1})}^{2}:{({x^{3}y^{7}})}^{- 1}}\rbrack}^{2}\]
για \(x = 0.4\) και \({y = ‒}2.5\)
Λύση:
Θα κάνουμε πρώτα τις πράξεις στην παράσταση Α με σκοπό να την απλοποιήσουμε:
\[A = {\lbrack{{(\mathit{xy}^{- 1})}^{2}:{({x^{3}y^{7}})}^{- 1}}\rbrack}^{2}\]
Εφαρμόζω την ιδιότητα των δυνάμεων στις εσωτερικές παρενθέσεις αφού αυτές έχουν προτεραιότητα.
\[A = {\lbrack{{({x^{2}y^{- 2}})}:{({x^{- 3}y^{- 7}})}}\rbrack}^{2}\]
Μετατρέπω την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό:
\[A = {\lbrack{{({x^{2}y^{- 2}})} \cdot \frac{1}{({x^{- 3}y^{- 7}})}}\rbrack}^{2}\]
Εφαρμόζω τις ιδιότητες των δυνάμεων:
\[A = {({x^{2 + 3}y^{{- 2} + 7}})}^{2} = {({x^{5} \cdot y^{5}})}^{2}\]
\[A = {x^{10} \cdot y^{10}}\]
\[A = {({x \cdot y})}^{10}\]
Θέτω \(x = 0.4\) και \({y = ‒}2.5\):
\[A = {({0.4 \cdot {({- 2.5})}})}^{10}\]
Κάνω πράξεις με την βοήθεια των ρητών:
\[A = {({0.4 \cdot {({- 2.5})}})}^{10} = {({\frac{4}{10} \cdot \frac{- 25}{10}})}^{10}\]
\[A = {(\frac{- 100}{100})}^{10} = {({- 1})}^{10} = 1\]
Από το βιβλίο της Γ Γυμνασίου λύνουμε μερικά ακόμα παραδείγματα:
Να απλοποιηθεί η παράσταση:
\[{Α = {({{- \frac{1}{3}}x^{3}y^{5}})}}:{({\frac{6}{5}x^{2}y^{2}})}\]
Λύση:
Μετατρέπω την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό:
\[Α = {{({{- \frac{1}{3}}x^{3}y^{5}})} \cdot {({\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{x^{2}y^{2}}})}}\]
Εφαρμόζω τις ιδιότητες των δυνάμεων :
\[{Α = {{- \frac{1}{3}} \cdot \frac{5}{6}}}x^{3 - 2}y^{5 - 2}\]
\[{Α = {- \frac{5}{18}}}xy^{3}\]
Να απλοποιηθεί η παράσταση:
\[{Α = {({{- 2}x^{2}y^{3}})}^{3}}:{({{- 8}x^{3}y^{4}})}\]
Λύση:
Μετατρέπω την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό:
\[Α = {{({{- 2}x^{2}y^{3}})}^{3} \cdot \frac{1}{{- 8}x^{3}y^{4}}}\]
Εφαρμόζω τις ιδιότητες των δυνάμεων και έχω διαδοχικά:
\[{Α = {- 8}}x^{6}{y^{9} \cdot \frac{1}{{- 8}x^{3}y^{4}}}\]
\[{Α = {\frac{- 8}{- 8} \cdot x^{6 - 3}}}y^{9 - 4}\]
\[{Α = x^{3}}y^{5}\]
Να Απλοποιηθεί η παράσταση:
\[Α = {{({{- 2}xy^{4}w^{3}})}^{2} \cdot {({{- x^{2}}y})}^{3}}\]
Λύση:
Εφαρμόζω τις ιδιότητες των δυνάμεων:
\[Α = {4 \cdot x^{2} \cdot y^{8} \cdot w^{6} \cdot {({- 1})} \cdot x^{6} \cdot y^{3}}\]
\[{Α = {{- 4} \cdot x^{2 + 6} \cdot y^{8 + 3} \cdot w^{6}} = {- 4}}x^{8}y^{11}w^{6}\]
Παρακάτω παραθέτουμε τις βασικές ταυτότητες μαζί με τις αποδείξεις τους:
\[{({x + y})}^{2}\] \[{} = {{({x + y})} \cdot {({x + y})}}\]
\[{} = {x^{2} + \mathit{xy} + \mathit{xy} + y^{2}}\]
\[{= {x^{2} + 2}}{\mathit{xy} + y^{2}}\]
\[{({x - y})}^{2}\] \[{} = {{({x - y})} \cdot {({x - y})}}\]
\[{} = {x^{2} - \mathit{xy} - \mathit{xy} + y^{2}}\]
\[{= {x^{2} - 2}}{\mathit{xy} + y^{2}}\]
\[{({x - y})}{({x + y})}\]
\[{} = {x^{2} - \mathit{xy} + \mathit{xyy}^{2}}\]
\[{} = {x^{2} - y^{2}}\]
\[{({x + y})}^{3}\] \[{} = {{({x + y})} \cdot {({x + y})}^{2}}\]
\[{= {({x + y})}}{({{x^{2} + 2}{\mathit{xy} + y^{2}}})}\]
\[{= {x^{3} + 2}}x^{2}{y + x}{y^{2} +} + x^{2}{y + 2}x{y^{2} + y^{3}}\]
\[{= {x^{3} + 3}}x^{2}{y + 3}x{y^{2} + y^{3}}\]
\[{({x - y})}^{3}\] \[{} = {{({x - y})} \cdot {({x - y})}^{2}}\]
\[{= {({x - y})}}{({{x^{2} - 2}{\mathit{xy} + y^{2}}})}\]
\[{{= {x^{3} - 2}}x^{2}{y + x}{y^{2} - x^{2}}{y + 2}x{y^{2} - y^{3}}}\]
\[{= {x^{3} - 3}}x^{2}{y + 3}x{y^{2} - y^{3}}\]
\[{({x + y})}{{({{x^{2} - x}{y + y^{2}}})} =}\]
\[{{= {x^{3} - x^{2}}}{y + x}{y^{2} + x^{2}}{y - x}{y^{2} + y^{3}}}\]
\[{} = {x^{3} + y^{3}}\]
\[{({x - y})}{{({{x^{2} + x}{y + y^{2}}})} =}\]
\[{{= {x^{3} + x^{2}}}{y + x}{y^{2} - x^{2}}{y - x}{y^{2} - y^{3}}}\]
\[{} = {x^{3} - y^{3}}\]
\[{({x + y + w})}^{2}\]
\[{= {({x + y + w})}}{({x + y + w})}\]
\[{{= {x^{2} + x}}{y + x}{w + \mathit{yx} + y^{2} + \mathit{yw} + \mathit{wx} + \mathit{wy} + w^{2}}}\]
\[{= {x^{2} + y^{2} + w^{2} + 2}{\mathit{xy} + 2}{\mathit{xw} + 2}\mathit{yw}}\]
Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:
\[1001^{2} - 999^{2}\]
\[99 \cdot 101\]
\[\frac{{(7,23)}^{2} - {(4,23)}^{2}}{11,46}\]
Λύση:
Για την παράσταση (i) έχουμε διαδοχικά:
\[1001^{2} - 999^{2}\]
Εφαρμόζω την διαφορά τετραγώνων :
\[{({1001 - 999})}{({1001 + 999})}\]
και κάνω τις πράξεις:
\[{2 \cdot 2000} = 4000\]
Για την παράσταση (ii) έχουμε διαδοχικά:
\[99 \cdot 101\]
Γράφω το
\[99 = {100 - 1}\]
και το
\[101 = {100 + 1}\]
με σκοπό να εμφανιστεί η διαφορά τετραγώνων:
\[(100-1)(100+1)\]
Εφαρμόζω την ταυτότητα:
\[100^{2} - 1^{2}\]
και κάνω τις πράξεις:
\[{10000 - 1} = 9.999\]
Για την παράσταση (iii) έχουμε διαδοχικά:
\[\frac{{(7,23)}^{2} - {(4,23)}^{2}}{11,46}\]
Εφαρμόζω την διαφορά τετραγώνων στον αριθμητή:
\[\frac{{({7,23 - 4,23})}{({7,23 + 4,23})}}{11,46}\]
και κάνω τις πράξεις:
\[\frac{3 \cdot 11,26}{11,26} = 3\]
Ένας μαθηματικός ισχυρισμός ή μαθηματική πρόταση μπορεί να είναι αληθής ή ψευδής και δεν επιδέχεται καμία άλλη κατάσταση.
Για να αποδείξουμε ότι μια μαθηματική πρόταση είναι αληθής μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ευθεία απόδειξη που μπορεί να γίνει με τρεις τρόπους:
Να αρχίσουμε από το πρώτο μέλος της πρότασης και με διαδοχικές αληθείς πράξεις να φτάσουμε στο δεύτερο ή να αρχίσουμε από το δεύτερο και να φτάσουμε στο πρώτο ή να αρχίσουμε και από το δύο μέλη και να φτάσουμε σε ένα κοινό αποτέλεσμα
Να γράψουμε όλη την ισότητα και με διαδοχικές ισοδυναμίες(\({}\Leftrightarrow{}\)) να φτάσουμε σε μία ισότητα που να είναι αληθής. Με αυτό τον τρόπο θα είναι αληθείς όλες οι ισότητες που έχουμε γράψει επομένως θα είναι αληθής και η αρχική.
Για να δείξουμε ότι μία μαθηματική πρόταση δεν ισχύει (είναι ψευδής) αρκεί να βρούμε ένα τουλάχιστον παράδειγμα για το οποίο αυτή η πρόταση δεν ισχύει. Αντιπαράδειγμα
Με την μέθοδο της ευθείας απόδειξης (περίπτωση 1) έχουν γίνει και οι αποδείξεις των ταυτοτήτων.
Να δείξετε ότι \[{{{({x + y})}^{2} - {({x - y})}^{2}} = 4}\mathit{xy}\]
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
\[{({\frac{999}{1000} + \frac{1000}{999}})}^{2} - {({\frac{999}{1000} - \frac{1000}{999}})}^{2}\]
Λύση:
Για να αποδείξουμε την πρώτη πρόταση θα χρησιμοποιήσουμε την ευθεία απόδειξη και μάλιστα την πρώτη μέθοδο, όπου αρχίζουμε από το πρώτο μέλος και φτάνουμε στο δεύτερο.
\[{({x + y})}^{2} - {({x - y})}^{2}\]
\[{= {{({{x^{2} + y^{2} + 2}\mathit{xy}})} - {({{x^{2} + y^{2} - 2}\mathit{xy}})}}}\]
\[{{= {x^{2} + y^{2} + 2}}{\mathit{xy} - x^{2} - y^{2} + 2}\mathit{xy}}\]
\[{= 4}\mathit{xy}\]
Επομένως έχουμε αποδείξει μία νέα ταυτότητα που ισχύει για κάθε x,y:
\[{{{({x + y})}^{2} - {({x - y})}^{2}} = 4}\mathit{xy}\]
την οποία θα χρησιμοποιήσουμε για να κάνουμε τον υπολογισμό του δεύτερου ερωτήματος:
\[{({\frac{999}{1000} + \frac{1000}{999}})}^{2} - {({\frac{999}{1000} - \frac{1000}{999}})}^{2}\]
παρατηρείστε ότι
\[x = \frac{999}{1000}\]
και
\[y = \frac{1000}{999}\]
επομένως έχουμε ότι η παραπάνω σχέση με την βοήθεια της ταυτότητας που αποδείξαμε είναι ίση με:
\[{4 \cdot \frac{999}{1000} \cdot \frac{1000}{999}} = 4\]
\[{x^{2} - {({x - 1})}}{{({x + 1})} = 1}\]
\[{(1,3265)}^{2} - {0,3265 \cdot 2,3265}\]
Λύση:
Για να αποδείξουμε την πρώτη πρόταση θα χρησιμοποιήσουμε την ευθεία απόδειξη και μάλιστα την πρώτη μέθοδο, όπου ξεκινάμε από το πρώτο μέλος με σκοπό να φτάσουμε στο δεύτερο:
\[{x^{2} - {({x - 1})}}{({x + 1})}\]
Εφαρμόζω την διαφορά τετραγώνων :
\[x^{2} - {({x^{2} - 1})}\]
και κάνω τις πράξεις:
\[{x^{2} - x^{2} + 1} = 1\]
Επομένως η πρόταση είναι αληθής και θα την χρησιμοποιήσουμε για να υπολογίσουμε την παράσταση του δεύτερου ερωτήματος.
Παρατηρείστε ότι
\[0,3265 = {1,3265 - 1}\]
και ότι
\[2,3265 = {1,3265 + 1}\]
Επομένως γράφουμε:
\[{{{(1,3265)}^{2} - {0,3265 \cdot 2,3265}} = {{(1,3265)}^{2} - {{({1,3265 - 1})} \cdot {({1,3265 + 1})}}}}\]
παρατηρείστε ότι
\[x = 1,3265\]
επομένως έχουμε:
\[{{(1,3265)}^{2} - {{({1,3265 - 1})} \cdot {({1,3265 + 1})}}} = 1\]
Να δείξετε ότι η διαφορά των τετραγώνων δυο διαδοχικών φυσικών αριθμών (του μικρότερου από τον μεγαλύτερο) ισούται με το άθροισμά τους.
Λύση:
Έστω ότι δύο διαδοχικοί φυσικοί αριθμού είναι οι \(x\) και \(x + 1\). Προφανώς ο \(x + 1\) είναι μεγαλύτερος από τον \(x\).
Την μαθηματική πρόταση που είναι διατυπωμένη σε μορφή κειμένου στην εκφώνηση την αναδιατυπώνουμε με την χρήση συμβόλων:
\[{{({x + 1})}^{2} - x^{2}} = {{({x + 1})} + x}\]
Ας κάνουμε τώρα κάποιες σωστές πράξεις που είδη γνωρίζουμε πως γίνονται:
Αρχικά κάνω την ταυτότητα "τετράγωνο αθροίσματος" στο πρώτο μέλος:
\[{x^{2} + 2}{{x + 1 - x^{2}} = {{({x + 1})} + x}}\]
Τα \(x^{2}\) και \(- x^{2}\) είναι αντίθετα επομένως έχουν άθροισμα μηδέν και φεύγουν:
\[2{{x + 1} = {{({x + 1})} + x}}\]
κάνω και τις πράξεις στο δεύτερο μέλος και έχουμε:
\[2{{x + 1} = 2}{x + 1}\]
Όλα τα παραπάνω βήματα θα μπορούσαμε να τα έχουμε γράψει με την χρήση του "συνεπάγεται" (\({}\Rightarrow{}\)) ως εξής:
\[{{{({x + 1})}^{2} - x^{2}} = {{({x + 1})} + x}}\Rightarrow{}\]
\[{x^{2} + 2}{{x + 1 - x^{2}} = {{({x + 1})} + x}}\Rightarrow\]
\[2{{x + 1} = {{({x + 1})} + x}}\Rightarrow\]
\[2{{x + 1} = 2}{x + 1}\]
Τώρα θα πρέπει να σκεφτούμε αν μπορούμε να κάνουμε όλα αυτά τα βήματα με έναν "αντίρροπο" τρόπο, δηλαδή να ξεκινήσουμε από:
\[2{{x + 1} = 2}{x + 1}\]
στο δεύτερο μέλος να διασπάσουμε το \(2x\) σε \(x + x\) και να κάνουμε χρήση της παρένθεσης:
\[2{{x + 1} = {{({x + 1})} + x}}\]
στο πρώτο μέλος να προσθέσουμε και να αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό \(x^{2}\):
\[{x^{2} + 2}{{x + 1 - x^{2}} = {{({x + 1})} + x}}\]
να κάνουμε χρήση της ταυτότητας (παραγοντοποίηση):
\[{{({x + 1})}^{2} - x^{2}} = {{({x + 1})} + x}\]
και έτσι επιστρέψαμε από εκεί που αρχίσαμε.
Τώρα γεννιέται το ερώτημα εάν όλες οι πράξεις στα μαθηματικά μπορούν να γίνουν με κάποιον “αντίρροπο” τρόπο όπως το παράδειγμα που δείξαμε. Φυσικά και όχι! Δεν θα είμαστε πάντα τόσο τυχεροί. Σχετικά με πράξεις που δεν γίνονται με τον "αντίρροπο" τρόπο θα δούμε αναλυτικά προσεχώς.
Η δεύτερη ομάδα "αντίρροπων" πράξεων μπορούν να γραφούν συνοπτικά ως εξής:
\[2{{x + 1} = 2}{x + 1}\Rightarrow{}\]
\[2{{x + 1} = {{({x + 1})} + x}}\Rightarrow\]
\[{x^{2} + 2}{{x + 1 - x^{2}} = {{({x + 1})} + x}}\Rightarrow\]
\[{{({x + 1})}^{2} - x^{2}} = {{({x + 1})} + x}\]
Τέλος για να δηλώσουμε ότι οι πράξεις γίνονται και προς τις δύο κατευθύνσεις, θα μπορούσαμε απλά να γράψουμε:
\[{{{({x + 1})}^{2} - x^{2}} = {{({x + 1})} + x}}\Leftrightarrow{}\]
\[{x^{2} + 2}{{x + 1 - x^{2}} = {{({x + 1})} + x}}\Leftrightarrow\]
\[2{{x + 1} = {{({x + 1})} + x}}\Leftrightarrow\]
\[2{{x + 1} = 2}{x + 1}\]
προσέξτε την χρήση του διπλού βέλους (ισοδύναμο).
Τώρα πρέπει να σκεφτούμε ότι κάθε γραμμή από την παραπάνω έκφραση αποτελεί και μία μαθηματική πρόταση που μπορεί να είναι αληθής ή ψευδής.
Αρχικά στην πρώτη γραμμή η πρόταση που αναγράφεται δεν γνωρίζουμε αν είναι αληθής ή ψευδής, θα μπορούσε να είναι ένα από τα δύο, (αλλά εμείς ακόμα δεν το γνωρίζουμε).
Το ίδιο συμβαίνει και στην δεύτερη γραμμή. Πάντως ότι είναι η πρόταση στην πρώτη γραμμή (δηλαδή αληθής ή ψευδής ) θα είναι και στην δεύτερη αφού η δεύτερη γραμμή προέκυψε με σωστές πράξεις από την πρώτη. Αλλά επίσης μπορούμε να πούμε ότι, ότι είναι η πρόταση στην δεύτερη γραμμή θα είναι και στην πρώτη αφού και από την δεύτερη γραμμή μπορούμε να κάνουμε σωστές πράξεις και να καταλήξουμε στην πρώτη.
Το ίδιο ισχύει και για την τρίτη και τέταρτη γραμμή.
Όμως αυτό που είναι γραμμένο στην τέταρτη γραμμή είναι σίγουρα αληθές, αφού και στα δύο μέλη της ισότητας γράφει το ίδιο πράγμα.
Επομένως θα είναι αληθής και η πρόταση στην τρίτη γραμμή αφού μπορεί να προκύψει με σωστές πράξεις από την τέταρτη.
Με την σειρά θα είναι όλες οι προτάσεις σε όλες τις γραμμές αληθείς.
Δηλαδή θα είναι και η πρώτη που θέλουμε να αποδείξουμε.
Η μέθοδος είναι πολύ ενδιαφέρουσα, θα την χρησιμοποιήσουμε πολλές φορές και φυσικά δεν χρειάζεται να γράφουμε κάθε φορά όλα αυτά που εγώ αναλυτικά σας έγραψα με σκοπό να σας δώσω να καταλάβετε την έννοια αυτού του τρόπου απόδειξης.
Αν ν φυσικός αριθμός, να δείξετε ότι ο αριθμός \[2^{\nu} + 2^{\nu + 1} + 2^{\nu + 2}\] είναι πολλαπλάσιο του 7.
Λύση:
Στην παράσταση
\[2^{\nu} + 2^{\nu + 1} + 2^{\nu + 2}\]
Εφαρμόζω την ιδιότητα των δυνάμεων:
\[2^{\nu} + {2^{\nu} \cdot 2^{1}} + {2^{\nu} \cdot 2^{2}}\]
βγάζω κοινό παράγοντα το \(2^{v}\):
\[{2^{\nu} \cdot {({1 + 2 + 4})}} = {7 \cdot 2^{\nu}}\]
Δηλαδή είναι πολλαπλάσιο του 7.
Θα θυμηθούμε τώρα τους τρόπους που μπορούμε να κάνουμε παραγοντοποίηση από το βιβλίο της Γ Γυμνασίου.
Λάβετε υπόψιν σας ότι η παραγοντοποίηση χρησιμοποιείται κυρίως με σκοπό την απλοποίηση. Γενικά όταν έχουμε σκοπό να απλοποιήσουμε μία ρητή παράσταση (κλάσμα) παραγοντοποιούμε τον αριθμητή και τον παρανομαστή και μετά προβαίνουμε σε απλοποίηση.
(α) Κοινός παράγοντας
Αν όλοι οι όροι μιας παράστασης έχουν κοινό παράγοντα, τότε η παράσταση μετατρέπεται σε γινόμενο παραγόντων σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα, π.χ.
\[12x^{2}{y - 30}x{y^{2} + 6}x^{2}{y^{2} = 6}xy{({2{x - 5}{y + x}y})}\]
\[\alpha{{({\omega - x})} + 3}\beta{{({x - \omega})} = {({\omega - x})}}{({{\alpha - 3}\beta})}\]
\[3{{({2{x - 1}})} + x}{{({4{x - 2}})} = {({2{x - 1}})}}{({{3 + 2}x})}\]
(β) Κοινός παράγοντας κατά ομάδες
Εδώ εφαρμόζουμε τον κοινό παράγοντα ανά δύο ή τρεις όρους και συνεχίζουμε σε δύο στάδια μέχρι να πραγματοποιηθεί η παράσταση, π.χ.
\[3{x^{3} - 12}{x^{2} + 5}{x - 20} ={}\]
\[ 3x^{2}{{({x - 4})} + 5}{({x - 4})} ={}\]
\[{({x - 4})}{({3{x^{2} + 5}})}={}\]
\[3{x^{2} + 5}x{y + 2}{y^{2}}\]
Παρακάτω βλέπουμε ένα δεύτερο παράδειγμα:
\[3{x^{2} + 3}x{y + 2}x{y + 2}{y^{2} =}\]
\[3x{{({x + y})} + 2}y{({x + y})} ={}\]
\[{({x + y})}{({3{x + 2}y})}\]
(γ) Διαφορά τετραγώνων
Εδώ εφαρμόζουμε την ταυτότητα , π.χ.
\[4{{x^{2} - 25} = {({2{x - 5}})}}{({2{x + 5}})}\]
όμοια:
\[{{{{({3{x - 1}})}^{2} - 81} = {({3{x - 1 - 9}})}}{{({3{x - 1 + 9}})} = {({3{x - 10}})}}{({3{x + 8}})}}\]
(δ) Διαφορά - άθροισμα κύβων
Χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες, π.χ.
\[{{({x^{3} - 27})} = {({x - 3})}}{({{x^{2} + 3}{x + 9}})}\]
ομοια:
\[{{({x^{3} + 64})} = {({x + 4})}}{({{x^{2} - 4}{x + 16}})}\]
(ε) Ανάπτυγμα τετραγώνου
Χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες, π.χ.
\[4{x^{2} + 12}{{x + 9} = {({2{x + 3}})}^{2}}\]
όμοια:
\[{- 4}{y^{2} + 4}{{y - 1} = {- {({2{y - 1}})}^{2}}}\]
(στ) Παραγοντοποίηση τριωνύμου
Εδώ παραγοντοποιούμε με την βοήθεια του τύπου:
\[\alpha{x^{2} + \beta}{{x + \gamma} = \alpha}{({x - \rho_{1}})}{({x - \rho_{2}})},{\alpha \neq 0}\]
όπου \(ρ_1\) και \(ρ_2\) είναι οι λύσεις της δευτεροβάθμιας εξίσωσης
\[\alpha{x^{2} + \beta}{{x + \gamma} = 0},{\alpha \neq 0}\]
που βρίσκουμε από τον τύπο
\[\rho_{1,2} = \frac{{- \beta} \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha}\]
όπου
\[{\Delta = {\beta^{2} - 4}}\mathit{\alpha\gamma}\]
ονομάζεται διακρίνουσα
Αν η διακρίνουσα είναι αρνητική δεν παραγοντοποιείται στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Περισσότερες λεπτομέρειες θα δούμε σε επόμενο κεφάλαιο. Δίνουμε ένα παράδειγμα:
\[{x^{2} - 8}{{x + 12} = 1}{({x - 2})}{({x - 6})}\]
διότι το τριώνυμο έχει διακρίνουσα
\[\Delta = {{({- 8})}^{2} - {4 \cdot 1 \cdot 12}} = 16 > 0\]
και ρίζες
\[\rho_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2}\]
\[{\rho_{1} = 2} \quad ή \quad {\rho_{2} = 6}\]
Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις
\[\frac{{a^{3} - 2}{a^{2} + a}}{a^{2} - a}\]
\[\frac{{{({a^{2} - a})} + 2}{a - 2}}{a^{2} - 1}\]
Λύση:
Για την πρώτη περίπτωση η οποία ορίζεται για \(\alpha \neq 0\) και \(\alpha \neq 1\)
\[\frac{{a^{3} - 2}{a^{2} + a}}{a^{2} - a}\]
αρχίζουμε με την παραγοντοποίηση του αριθμητή και του παρανομαστή με κοινό παράγοντα:
\[\frac{a{({{a^{2} - 2}{a + 1}})}}{a{({a - 1})}}\]
Στον αριθμητή παραγοντοποιούμε με ανάπτυγμα τετραγώνου και τέλος απλοποιούμε:
\[\frac{a{({a - 1})}^{2}}{a{({a - 1})}} = {a - 1}\]
Για την δεύτερη περίπτωση η οποία ορίζεται για \(\alpha \neq {\pm 1}\)
\[\frac{{{({a^{2} - a})} + 2}{a - 2}}{a^{2} - 1}\]
παραγοντοποιούμε κατά ομάδες στον αριθμητή σε δύο στάδια:
\[\frac{a{{({a - 1})} + 2}{({a - 1})}}{a^{2} - 1}\] ή
\[\frac{{({a - 1})}{({a + 2})}}{a^{2} - 1}\]
παραγοντοποιούμε τον παρανομαστή με την διαφορά τετραγώνων και τέλος απλοποιούμε:
\[\frac{{({a - 1})}{({a + 2})}}{{({a - 1})}{({a + 1})}} = \frac{a + 2}{a + 1}\]
Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις
\[{({a - \frac{1}{a}})}^{2} \cdot \frac{a^{3} + a^{2}}{{({a + 1})}^{3}}\]
\[\frac{a^{2} + a + 1}{a + 1} \cdot \frac{a^{2} - 1}{a^{3} - 1}\]
Λύση:
Για να απλοποιήσετε την πρώτη περίπτωση η οποία ορίζεται για \(\alpha \neq 0\) και \(a \neq {- 1}\)
\[{\left({a - \frac{1}{a}}\right)}^{2} \cdot \frac{a^{3} + a^{2}}{{({a + 1})}^{3}}\]
αρχίζουμε με τις πράξεις μέσα στην πρώτη παρένθεση:
\[{\left(\frac{a^{2} - 1}{a}\right)}^{2} \cdot \frac{a^{3} + a^{2}}{{({a + 1})}^{3}}\]
Εφαρμόζουμε την διαφορά τετραγώνου στον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και βγάζουμε κοινό παράγοντα στον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος:
\[{\left(\frac{{({a - 1})}{({a + 1})}}{a}\right)}^{2} \cdot \frac{a^{2}{({a + 1})}}{{({a + 1})}^{3}}\]
εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων στο πρώτο κλάσμα:
\[\frac{{({a - 1})}^{2}{({a + 1})}^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{a^{2}{({a + 1})}}{{({a + 1})}^{3}}\]
και απλοποιούμε:
\[{({a - 1})}^{2}\]
Για να απλοποιήσουμε την δεύτερη περίπτωση η οποία ορίζεται για \(a \neq {\pm 1}\)
\[\frac{a^{2} + a + 1}{a + 1} \cdot \frac{a^{2} - 1}{a^{3} - 1}\]
αρχίζουμε με την διαφορά τετραγώνων του αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και με την διαφορά κύβων του παρανομαστή του ίδιου κλάσματος. Μετά απλοποιούμε:
\[{\frac{a^{2} + a + 1}{a + 1} \cdot \frac{{({a - 1})}{({a + 1})}}{{({a - 1})}{({a^{2} + a + 1})}}} = 1\]
Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:
\[{({x + y})}^{2} \cdot {({x^{- 1} + y^{- 1}})}^{- 2}\]
\[\frac{x + y}{x - y} \cdot \frac{x^{- 1} - y^{- 1}}{x^{- 2} - y^{- 2}}\]
Λύση:
Στην πρώτη περίπτωση:
\[{({x + y})}^{2} \cdot {({x^{- 1} + y^{- 1}})}^{- 2}\]
αρχίζουμε εφαρμόζοντας τον ορισμό των δυνάμεων :
\[{({x + y})}^{2} \cdot {\left({\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}\right)}^{- 2}\]
εκτελούμε τις πράξεις μέσα στην δεύτερη παρένθεση:
\[{({x + y})}^{2} \cdot {\left(\frac{x + y}{xy}\right)}^{- 2}\]
μετά τις ιδιότητες των δυνάμεων στην δεύτερη παρένθεση:
\[\frac{{({x + y})}^{2} \cdot {({xy})}^{2}}{{({x + y})}^{2}}\]
και απλοποιώ:
\[{\frac{{({x + y})}^{2} \cdot {({xy})}^{2}}{{({x + y})}^{2}} = {({xy})}^{2} = x^{2}}y^{2}\]
Στην δεύτερη περίπτωση:
\[\frac{x + y}{x - y} \cdot \frac{x^{- 1} - y^{- 1}}{x^{- 2} - y^{- 2}}\]
αρχίζουμε εφαρμόζοντας τον ορισμό των δυνάμεων :
\[\frac{x + y}{x - y} \cdot \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}}}\]
κάνω ομώνυμα τα κλάσματα που είναι στον αριθμητή και τον παρανομαστή του δεύτερου κλάσματος και μετά προσθέτω:
\[\frac{x + y}{x - y} \cdot \frac{\frac{y - x}{xy}}{\frac{y^{2} - x^{2}}{x^{2}y^{2}}}\]
κάνω το σύνθετο κλάσμα απλό:
\[\frac{x + y}{x - y} \cdot \frac{{({y - x})}x^{2}y^{2}}{{({y^{2} - x^{2}})}xy}\]
εφαρμόζω την διαφορά τετραγώνων στον παρανομαστή και απλοποιώ:
\[{\frac{x + y}{x - y} \cdot \frac{{({y - x})}x^{2}y^{2}}{{({y - x})}{({y + x})}xy}} = \frac{xy}{({x - y})}\]
Να δείξετε ότι:
\[{(\frac{x^{3} + y^{3}}{x^{2} - y^{2}})}:{{({\frac{x^{2}}{x - y} - y})} = 1}\]
Λύση:
Θα ακολουθήσουμε την μέθοδο της ευθείας απόδειξης και μάλιστα θα αρχίσουμε τις πράξεις από το πρώτο μέλος με σκοπό να βρούμε το δεύτερο
\[{(\frac{x^{3} + y^{3}}{x^{2} - y^{2}})}:{({\frac{x^{2}}{x - y} - y})}\]
Αρχίζουμε με τις πράξεις μέσα στην δεύτερη παρένθεση. Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα και προσθέτουμε:
\[\frac{x^{3} + y^{3}}{x^{2} - y^{2}}:\frac{{x^{2} - y}{({x - y})}}{x - y}\]
συνεχίζουμε με τις πράξεις στον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος, κάνουμε το άθροισμα κύβων και την διαφορά τετραγώνων στον αριθμητή και τον παρανομαστή του πρώτου κλάσματος:
\[\frac{{({x + y})}{({x^{2} - \mathit{xy} + y^{2}})}}{{({x - y})}{({x + y})}}:\frac{x^{2} - \mathit{xy} + y^{2}}{x - y}\]
μετατρέπω την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό και απλοποιώ:
\[{\frac{{({x + y})}{({x^{2} - \mathit{xy} + y^{2}})}}{{({x - y})}{({x + y})}} \cdot \frac{x - y}{x^{2} - \mathit{xy} + y^{2}}} = 1\]
Ισότητα είναι μία μαθηματική πρόταση που αποτελείται από δύο μέλη (το πρώτο και το δεύτερο μέλος) που είναι ίσα μεταξύ τους. Γράφουμε:
\[\alpha = \beta\]
Όταν δύο αριθμοί δεν είναι ίσοι γράφουμε:
\[\alpha \neq \beta\]
Οι ισότητες επιδέχονται τέσσερις πράξεις:
(α) Αν έχουμε μία ισότητα \(\alpha = \beta\), τότε μπορούμε και στα δύο μέλη να προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό \(\gamma\) και αντιστρόφως. Γράφουμε:
\[{\alpha = \beta}\Leftrightarrow{{\alpha + \gamma} = {\beta + \gamma}}\]
(β) Αν έχουμε μία ισότητα \(\alpha = \beta\) και έναν μη μηδενικό αριθμό \(\gamma \neq 0\), τότε μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε αυτόν τον αριθμό και στα δύο μέλη.
\[{\alpha = \beta}\Leftrightarrow{{\alpha \cdot \gamma} = {\beta \cdot \gamma}}\]
Με την βοήθεια αυτών των δύο ιδιοτήτων λύνονται οι εξισώσεις πρώτου βαθμού, π.χ
\[{{{2 \cdot x} + 5} = {- 10}}\Leftrightarrow\]
προσθέτουμε το (-5)
\[{{{2 \cdot x} + 5 + {({- 5})}} = {{- 10} + {({- 5})}}}\Leftrightarrow\]
\[{{2 \cdot x} = {- 15}}\Leftrightarrow\]
πολλαπλασιάζουμε με \(\frac{1}{2}\)
\[{{\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x} = {\frac{1}{2} \cdot {({- 15})}}}\Leftrightarrow\]
\[x = \frac{- 15}{2}\]
(γ) Αν έχουμε δύο ισότητες \(\alpha = \beta\) και \(\gamma = \delta\), τότε μπορούμε να τις προσθέσουμε κατά μέλη, δηλαδή:
\[{({{\alpha = \beta}\mathit \quad {\kappa\alpha\iota} \quad {\gamma = \delta}})}\Rightarrow{{\alpha + \gamma} = {\beta + \delta}}\]
(δ) Αν έχουμε δύο ισότητες \(\alpha = \beta\) και \(\gamma = \delta\), τότε μπορούμε να τις πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη:
\[{({{\alpha = \beta}\mathit \quad {\kappa\alpha\iota} \quad {\gamma = \delta}})}\Rightarrow{{\alpha \cdot \gamma} = {\beta \cdot \delta}}\]
Άλλες δύο σημαντικές ιδιότητες των ισοτήτων είναι:
(ε) Το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών είναι μηδέν αν και μόνο αν ένας τουλάχιστον από τους δύο αριθμούς είναι ίσος με μηδέν, δηλαδή:
\[{{\alpha \cdot \beta} = 0}\Leftrightarrow{\alpha = 0}\quad ή \quad {\beta = 0}\]
(στ) Αν το γινόμενο δύο αριθμών είναι διάφορο του μηδενός τότε υποχρεωτικά και οι δύο αριθμοί πρέπει να είναι ταυτόχρονα διάφοροι του μηδενός.
\[{{a \cdot \beta} \neq 0}\Leftrightarrow{\alpha \neq 0}\mathit\quad {\kappa\alpha\iota}\quad{\beta \neq 0}\]
Ας δούμε μερικά παραδείγματα από το σχολικό βιβλίο:
Να αποδειχθούν οι εξής ιδιότητες των αναλογιών:
\[{\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta}}\Leftrightarrow{\mathit{\alpha\delta} = \mathit{\beta\gamma}}, \quad{\mathit{\beta\delta} \neq 0}\]
\[{\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta}}\Leftrightarrow{\frac{\alpha}{\gamma} = \frac{\beta}{\delta}},\quad{\mathit{\beta\gamma\delta} \neq 0}\]
\[{\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta}}\Leftrightarrow{\frac{\alpha + \beta}{\beta} = \frac{\gamma + \delta}{\delta}},\quad{\mathit{\beta\delta} \neq 0}\]
\[{\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta}}\Leftrightarrow{\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta} = \frac{\alpha + \gamma}{\beta + \delta}},\quad\mathit{\beta\delta}{{({\beta + \delta})} \neq 0}\]
Λύση:
Για να αποδείξουμε την πρώτη περίπτωση θα χρησιμοποιήσουμε την ευθεία απόδειξη και μάλιστα τον δεύτερο τρόπο. Βλέπε .
Δηλαδή θα πάρουμε την πρώτη ισότητα:
\[\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta}\]
και θα πολλαπλασιάσουμε και στις δύο πλευρές την ποσότητα \(\mathit{\beta\delta}\), σύμφωνα με την ιδιότητα . Αυτό που πρέπει να προσέξουμε είναι να είναι \(\mathit{\beta\delta} \neq 0\) που πράγματι μας το δίνει στην υπόθεση:
\[{\frac{\alpha}{\beta} \cdot \mathit{\beta\delta}} = {\frac{\gamma}{\delta} \cdot \mathit{\beta\delta}}\]
και έτσι θα πάρουμε την ισότητα:
\[\mathit{\alpha\delta} = \mathit{\gamma\beta}\]
Λαμβάνοντας υπόψιν ότι \(\frac{1}{\mathit{\beta\delta}} \neq 0\) μπορούμε να κάνουμε και τις πράξεις "ανάποδα", δηλαδή ξεκινώντας από την ισότητα:
\[{\mathit{\alpha\delta} = \mathit{\gamma\beta}}\Rightarrow\]
\[{{\mathit{\alpha\delta} \cdot \frac{1}{\mathit{\beta\delta}}} = {\mathit{\gamma\beta} \cdot \frac{1}{\mathit{\beta\delta}}}}\Rightarrow\]
\[\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta}\]
Φυσικά, θα μπορούσαμε πολύ απλά να συνοψίσουμε τις δυο παραπάνω περιπτώσεις με την χρήση του συμβόλου \(\Leftrightarrow\):
\[{\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta}}\Leftrightarrow\]
\[{{\frac{\alpha}{\beta} \cdot \mathit{\beta\delta}} = {\frac{\gamma}{\delta} \cdot \mathit{\beta\delta}}}\Leftrightarrow\]
\[\mathit{\alpha\delta} = \mathit{\gamma\beta}\]
Η δεύτερη περίπτωση είναι παρόμοια. Εδώ θα πολλαπλασιάσουμε και το δύο μέλη της πρώτης ισότητας με \(\frac{\beta}{\gamma} \neq 0\). Οι παρακάτω πράξεις μπορούν να εκτελεστούν και "αντίστροφα" επομένως γράφουμε το σύμβολο της ισοδυναμίας:
\[{\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta}}\Leftrightarrow\]
\[{{\frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{\beta}{\gamma}} = {\frac{\gamma}{\delta} \cdot \frac{\beta}{\gamma}}}\Leftrightarrow\]
\[\frac{\alpha}{\gamma} = \frac{\beta}{\delta}\]
Σχετικά με την τρίτη περίπτωση πάλι θα ασχοληθούμε με την ευθεία απόδειξη όπως και στις άλλες δύο περιπτώσεις. Σε αυτή την περίπτωση θα εφαρμόσουμε την ιδιότητα , όπου θα προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό και στα δύο μέλη της ισότητας. Θα προσθέσουμε τον αριθμό 1:
\[{\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta}}\Leftrightarrow\]
\[{{\frac{\alpha}{\beta} + 1} = {\frac{\gamma}{\delta} + 1}}\Leftrightarrow\]
\[{{\frac{\alpha}{\gamma} + \frac{\gamma}{\gamma}} = {\frac{\beta}{\delta} + \frac{\delta}{\delta}}}\Leftrightarrow\]
\[\frac{\alpha + \gamma}{\gamma} = \frac{\beta + \delta}{\delta}\]
Σχετικά με την τελευταία περίπτωση θέτουμε ότι:
\[\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta} = \lambda\]
δηλαδή τώρα έχουμε δύο ισότητες:
\[\frac{\alpha}{\beta} = \lambda\] και \[\frac{\gamma}{\delta} = \lambda\]
οι οποίες γράφονται και ως:
\[\alpha = \mathit{\lambda\beta}\] και \[\gamma = \mathit{\lambda\delta}\]
τις οποίες προσθέτουμε κατά μέλη σύμφωνα με την γνωστή ιδιότητα:
\[{{\alpha + \gamma} = {\mathit{\lambda\beta} + \mathit{\lambda\delta}} = \lambda}{({\beta + \delta})}\]
δηλαδή:
\[\frac{\alpha + \gamma}{\beta + \delta} = \lambda\]
επομένως:
\[\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta} = \frac{\alpha + \gamma}{\beta + \delta}\]
Τις τέσσερις αυτές σχέσεις έως μπορούμε να τις χρησιμοποιήσουμε και ως θεωρία χωρίς απόδειξη.
Έστω α, β και γ τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ. Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις:
ii) Αν \[{\alpha - \beta} = {\beta - \gamma} = {\gamma - \alpha}\]
Λύση:
Μπορούμε να αποδείξουμε την πρώτη περίπτωση με τρεις διαφορετικούς τρόπους:
(1ος τρόπος)
Έστω:
\[\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{\gamma} = \frac{\gamma}{\alpha} = \lambda\]
δηλαδή έχουμε τις τρεις παρακάτω ισότητες:
\[\frac{\alpha}{\beta} = \lambda\] και \[\frac{\beta}{\gamma} = \lambda\] και \[\frac{\gamma}{\alpha} = \lambda\]
που μπορούν να γραφούν ως εξής:
\[\alpha = \mathit{\lambda\beta}\] και \[\beta = \mathit{\lambda\gamma}\] και \[\gamma = \mathit{\lambda\alpha}\]
προσθέτουμε κατά μέλη αυτές τις τρεις σχέσεις:
\[{{\alpha + \beta + \gamma} = {\mathit{\lambda\beta} + \mathit{\lambda\gamma} + \mathit{\lambda\alpha}} = \lambda}{({\beta + \gamma + \alpha})}\]
Tο \({\alpha + \beta + \gamma} \neq 0\) αφού τα α,β,γ είναι πλευρές τριγώνου και είναι όλοι τους θετικοί αριθμοί. Όταν προσθέτουμε θετικούς αριθμούς το αποτέλεσμα είναι θετικό.
Πολλαπλασιάζω και τα δύο μέλη της τελευταίας σχέσης με \[\frac{1}{\alpha + \beta + \gamma}\]:
\[{{{({\alpha + \beta + \gamma})} \cdot \frac{1}{\alpha + \beta + \gamma}} = \lambda}{{({\beta + \gamma + \alpha})} \cdot \frac{1}{\alpha + \beta + \gamma}}\]
δηλαδή
\[1=λ\]
Αν τώρα πάρουμε την πρώτη σχέση έχουμε:
\[\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{\gamma} = \frac{\gamma}{\alpha} = \lambda = 1\]
δηλαδή:
\[\frac{\alpha}{\beta} = 1\] και \[\frac{\beta}{\gamma} = 1\] και \[\frac{\gamma}{\alpha} = 1\]
που αυτό σημαίνει:
\[\alpha = \beta\] και \[\beta = \gamma\] και \[\gamma = \alpha\]
ή
\[\alpha = \beta = \gamma\]
δηλαδή το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
(2ος τρόπος)
Προσαρμόζοντας την σχέση στο πρόβλημά μας έχουμε:
\[{\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{\gamma} = \frac{\gamma}{\alpha}}\Leftrightarrow{\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{\gamma} = \frac{\gamma}{\alpha} = \frac{\alpha + \beta + \gamma}{\beta + \gamma + \alpha} = 1}\]
με την προϋπόθεση ότι
\[\mathit{\alpha\beta\gamma}{{({\alpha + \beta + \gamma})} \neq 0}\]
που πράγματι ισχύει αφού οι πλευρές α,β,γ είναι πλευρές τριγώνου.
Δηλαδή, δείξαμε ότι:
\[\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{\gamma} = \frac{\gamma}{\alpha} = 1\]
που όπως και στον πρώτο τρόπο είναι:
\[\alpha = \beta = \gamma\]
(3ος τρόπος)
Έστω:
\[\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{\gamma} = \frac{\gamma}{\alpha} = \lambda\]
δηλαδή έχουμε τις τρεις παρακάτω ισότητες:
\[\frac{\alpha}{\beta} = \lambda\] και \[\frac{\beta}{\gamma} = \lambda\] και \[\frac{\gamma}{\alpha} = \lambda\]
που μπορούν να γραφούν ως εξής:
\[\alpha = \mathit{\lambda\beta}\] και \[\beta = \mathit{\lambda\gamma}\] και \[\gamma = \mathit{\lambda\alpha}\]
πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη αυτές τις τρεις σχέσεις:
\[{{\alpha \cdot \beta \cdot \gamma} = \lambda^{3}}{\alpha \cdot \beta \cdot \gamma}\]
Αφού τα α,β,γ είναι πλευρές τριγώνου έχουμε ότι
\[\mathit{\alpha\beta\gamma} \neq 0\].
Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω ισότητας με
\[\frac{1}{\mathit{\alpha\beta\gamma}}\]
επομένως
\[{{\alpha \cdot \beta \cdot \gamma \cdot \frac{1}{\mathit{\alpha\gamma\beta}}} = \lambda^{3}}{\alpha \cdot \beta \cdot \gamma \cdot \frac{1}{\mathit{\alpha\gamma\beta}}}\]
δηλαδή:
\[\lambda^{3} = 1\] ή \[\lambda = 1\]
Αν τώρα πάρουμε την πρώτη σχέση έχουμε:
\[\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{\gamma} = \frac{\gamma}{\alpha} = \lambda = 1\]
δηλαδή:
\[\frac{\alpha}{\beta} = 1\] και \[\frac{\beta}{\gamma} = 1\] και \[\frac{\gamma}{\alpha} = 1\]
που αυτό σημαίνει:
\[\alpha = \beta\] και \[\beta = \gamma\] και \[\gamma = \alpha\]
ή
\[\alpha = \beta = \gamma\]
δηλαδή το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
Σχετικά με την δεύτερη περίπτωση μπορούμε πάλι να εργαστούμε με δύο τρόπους:
(1ος τρόπος)
Έστω
\[{\alpha - \beta} = {\beta - \gamma} = {\gamma - \alpha} = \lambda\]
Έχουμε δηλαδή τις τρεις παρακάτω ισότητες:
\[{\alpha - \beta} = \lambda\] και \[{\beta - \gamma} = \lambda\] και \[{\gamma - \alpha} = \lambda\]
προσθέτουμε κατά μέλη αυτές τις ισότητες:
\[{\alpha - \beta + \beta - \gamma + \gamma - \alpha} = {\lambda + \lambda + \lambda}\]
δηλαδή:
\[{0 = 3}\lambda\] ή \[\lambda = 0\]
Επομένως έχουμε ότι:
\[{\alpha - \beta} = 0\] και \[{\beta - \gamma} = 0\] και \[{\gamma - \alpha} = 0\]
δηλαδή
\[\alpha = \beta\] και \[\beta = \gamma\] και \[\gamma = \alpha\] ή \[\alpha = \beta = \gamma\]
επομένως το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
(2ος τρόπος)
Από τις σχέσεις:
\[{\alpha - \beta} = {\beta - \gamma} = {\gamma - \alpha}\]
μπορούμε να σχηματίσουμε τις παρακάτω δύο ισότητες:
\[{\alpha - \beta} = {\beta - \gamma}\] και \[{\alpha - \beta} = {\gamma - \alpha}\]
τις οποίες προσθέτουμε κατά μέλη:
\[{\alpha - \beta + \alpha - \beta} = {\beta - \gamma + \gamma - \alpha}\] ή \[2{\alpha - 2}{\beta = {\beta - \alpha}}\]
η οποία γράφεται:
\[3{\alpha = 3}\beta\] ή \[\alpha = \beta\]
παίρνουμε τώρα την σχέση
\[{\alpha - \beta} = {\beta - \gamma}\]
και αντικαταστούμε ότι \(\alpha = \beta\) και βρίσκουμε:
\[\beta = \gamma\]
δηλαδή βρήκαμε συνολικά ότι:
\[\alpha = \beta = \gamma\]
που αυτό σημαίνει ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
Να δείξετε ότι, αν ένα ορθογώνιο έχει περίμετρο
\[{L = 4}\alpha\]
και εμβαδόν
\[E = \alpha^{2}\],
τότε το ορθογώνιο αυτό είναι τετράγωνο με πλευρά ίση με \(\alpha\).
Λύση:
Έστω ότι οι πλευρές αυτού του ορθογωνίου είναι x και y. Τότε η περίμετρος γράφεται ως:
\[{L = {x + y + x + y} = 2}{x + 2}y\]
και το εμβαδόν του είναι:
\[Ε = \mathit{xy}\]
Από τα δεδομένα τις άσκησης έχουμε ότι:
\[4{\alpha = 2}{x + 2}y\] και \[\alpha^{2} = \mathit{xy}\]
οι οποίες γράφονται:
\[{y = 2}{\alpha - x}\] και \[\alpha^{2} = \mathit{xy}\]
Αντικαταστούμε την πρώτη σχέση στην δεύτερη και έχουμε:
\[{\alpha^{2} = x}{({2{a - x}})}\Leftrightarrow\]
\[{x^{2} - 2}{{\mathit{ax} + a^{2}} = 0}\Leftrightarrow\]
\[{({x - a})}^{2} = 0\Leftrightarrow\]
\[{x - a} = 0\Leftrightarrow\]
\[x = a\]
παίρνουμε τώρα την εξίσωση
\[{y = 2}{\alpha - x}\]
και αντικαταστούμε την \(x = a\):
\[{y = 2}{\alpha - x} \Leftrightarrow\]
\[{y = 2}{a - a}\Leftrightarrow\]
\[y = a\]
Δηλαδή το ορθογώνιο έχει ίσες πλευρές, επομένως είναι τετράγωνο με πλευρά \(\alpha\).
Παρακάτω θα αναλύσουμε έναν άλλο τρόπο απόδειξης που ονομάζεται Μέθοδος Απαγωγής σε Άτοπο. Αρχικά διαβάστε προσεκτικά τον τίτλο.
Όπως έχουμε είδη αναφέρει κάθε μαθηματική πρόταση μπορεί να βρεθεί σε μία εκ των δυο καταστάσεων, δηλαδή να είναι αληθής ή ψευδής. Δεν μπορεί να είναι κάτι άλλο.
Επίσης υπάρχουν μαθηματικές προτάσεις που μπορούν να βρεθούν σε ένα φάσμα δύο μόνο καταστάσεων, δηλαδή π.χ. να πούμε
«ο αριθμός x είναι ρητός»
«ο αριθμός x είναι άρρητος»
Δηλαδή στο παραπάνω παράδειγμα ο αριθμός x θα είναι είτε ρητός είτε άρρητος. Δεν μπορεί να είναι κάτι άλλο.
Για κοιτάξτε όμως και το επόμενο παράδειγμα, όπου ο αριθμός x μπορεί να βρεθεί σε τρεις διαφορετικές καταστάσεις:
«ο αριθμός x είναι θετικός»
«ο αριθμός x είναι αρνητικός»
«ο αριθμός x είναι μηδέν»
Βεβαίως το παραπάνω παράδειγμα μπορούμε να το διασκευάσουμε ως εξής:
«ο αριθμός x είναι θετικός»
«ο αριθμός x δεν είναι θετικός»
ώστε πάλι ο αριθμός x να μπορεί να βρεθεί σε μία εκ των δύο καταστάσεων και όχι σε πολλές.
Για μαθηματικές προτάσεις αυτού του είδους μπορούμε να εφαρμόσουμε την μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο.
Ας δούμε τώρα πως εφαρμόζεται η μέθοδος με την βοήθεια ενός παραδείγματος μέσα από το σχολικό βιβλίο.
Έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε ότι:
«Αν ο \(x^{2}\) είναι άρτιος αριθμός, τότε και ο \(x\) είναι άρτιος αριθμός»
Αυτή η πρόταση αποτελείται από δύο τμήματα:
Αν ο \(x^{2}\) είναι άρτιος
τότε ο x είναι άρτιος.
Το πρώτο τμήμα είναι η υπόθεση, δηλαδή κάτι που η εκφώνηση μας δίνει ως αληθές. Δεν χρειάζεται να το αποδείξουμε. Θα το χρησιμοποιήσουμε για να αποδείξουμε το δεύτερο τμήμα.
Το δεύτερο τμήμα είναι αυτό που πρέπει να αποδείξουμε.
Το επόμενο που πρέπει να σκεφτούμε είναι ότι ο αριθμός x είτε θα είναι άρτιος είτε περιττός (όχι άρτιος). Δεν μπορεί να είναι κάτι άλλο.
Εμείς θέλουμε να δείξουμε ότι η πρόταση
«ο x είναι άρτιος»
είναι αληθής.
Αλλά για σκεφτείτε ότι αν αποδεικνύαμε ότι η παρακάτω πρόταση είναι ψευδής:
«ο x είναι περιττός»
τότε δεν θα μπορούσε ο x να είναι τίποτα άλλο από το να είναι άρτιος, διότι είπαμε ότι ο x είτε θα είναι περιττός είτε άρτιος και δεν υπάρχει άλλη επιλογή.
Ας υποθέσουμε αρχικά ότι αυτή η αντίθετη πρόταση είναι αληθής:
Έστω λοιπόν ότι ο x είναι περιττός, επομένως γράφουμε:
\[{x = 2}{\kappa + 1}, \quad {\kappa \in {\mathbb{Z}}}\]
επομένως
\[x^{2} {} = {({2{\kappa + 1}})}^{2}\]
\[{= 4}{\kappa^{2} + 4}{\kappa + 1}\]
\[{= 2}{{({2{k^{2} + 2}k})} + 1}\]
\[{= 2}{\lambda + 1},{\lambda \in {\mathbb{Z}}}\]
Δηλαδή ο \(x^{2}\) είναι περιττός, αλλά αυτό είναι άτοπο αφού στην υπόθεση έχουμε ότι ο \(x^{2}\) είναι άρτιος (\({x^{2} = 2}\lambda, \quad {\lambda \in {\mathbb{Z}}}\))
παραπάνω θέσαμε ότι \[{\lambda = 2}{\kappa^{2} + 2}\kappa, \quad \kappa \in {\mathbb{Z}}\]
Επομένως και ο αρχικός ισχυρισμός ότι ο x είναι περιττός θα είναι ψευδής.
Επομένως ο x δεν μπορεί να είναι τίποτα άλλο από το να είναι άρτιος!
Η μέθοδος είναι λίγο απαιτητική, αλλά σε γενικές γραμμές θα πρέπει να προσέχετε ότι
ο ισχυρισμός μπορεί να βρεθεί σε δύο καταστάσεις, αληθής ή ψευδής
Θα κάνετε την αντίθετη υπόθεση από αυτή που θέλετε να δείξετε ως αληθής
Θα προχωράτε με τον συλλογισμός σας μέχρι να δείξετε ότι η πρόταση που υποθέσατε είναι άτοπη (ψευδής). Σε αυτό το στάδιο μπορεί να χρησιμοποιήσετε και την υπόθεση αν υπάρχει.
Θα προχωράτε στο συμπέρασμα ότι είναι αληθής η αρνητική πρόταση από αυτή που υποθέσατε, δηλαδή αυτή που αρχικά θέλετε να δείξετε.
Θα ξεκινήσουμε με ένα παράδειγμα από το σχολικό βιβλίο:
Να αποδείξετε ότι ο αριθμός \(\sqrt{2}\) είναι άρρητος.
Λύση:
Υπάρχουν δύο περιπτώσεις:
«ο \(\sqrt{2}\) να είναι ρητός» ή
«ο \(\sqrt{2}\) να είναι άρρητος».
Δεν υπάρχει καμία άλλη περίπτωση, διότι ένας αριθμός θα είναι είτε ρητός είτε άρρητος.
Η άσκηση λέγοντας ότι πρέπει να αποδείξουμε ότι ο αριθμός είναι άρρητος εννοεί ότι αυτή είναι η αληθής πρόταση και εμείς πρέπει και να το αποδείξουμε.
Όπως έχουμε πει, εμείς θα υποθέτουμε την ψευδής πρόταση ως αληθής, δηλαδή ότι:
Έστω ο \(\sqrt{2}\) να είναι ρητός
και θα πρέπει μετά από κάποιες πράξεις που θα κάνουμε να οδηγηθούμε σε άτοπο.
Αφού λοιπόν υποθέσαμε ότι ο \[\sqrt{2}\] είναι ρητός μπορούμε να τον γράψουμε στην μορφή:
\[{\sqrt{2} = \frac{\kappa}{\lambda}}, \quad\kappa,{\lambda \in {\mathbb{N}}}\]
και επίσης ότι το κλάσμα \(\frac{\kappa}{\lambda}\) είναι ανάγωγο, δηλαδή οι αριθμοί κ και λ είναι οι μικρότεροι δυνατοί αφού έχουν γίνει όλες οι απλοποιήσεις.
Τώρα μπορούμε να εκτελέσουμε τις παρακάτω πράξεις:
\[\sqrt{2} = \frac{\kappa}{\lambda}\]
\[{(\sqrt{2})}^{2} = {(\frac{\kappa}{\lambda})}^{2}\]
\[2 = \frac{\kappa^{2}}{\lambda^{2}}\]
\[{\kappa^{2} = 2}\lambda^{2}\]
που αυτό σημαίνει ότι ο \(\kappa^{2}\) είναι άρτιος.
Ένας αριθμός είναι άρτιος όταν μπορεί να γραφεί στην μορφή \(x = {2 \cdot \nu}\) , ενώ είναι περιττός όταν μπορεί να γραφεί στην μορφή \({x = 2}{\nu + 1}\)\(, \quad\nu \in {\mathbb{Z}}\)
Όμως έχουμε αποδείξει ότι αν ο αριθμός \(\kappa^{2}\) είναι άρτιος τότε άρτιος θα είναι και ο \(\kappa\) δηλαδή μπορεί να γραφεί στην μορφή \({\kappa = 2}\mu\). Επομένως συνεχίζουμε τώρα με τις πράξεις που αφήσαμε λίγο πριν:
\[{\kappa^{2} = 2}\lambda^{2}\]
\[{{({2\mu})}^{2} = 2}\lambda^{2}\]
\[4{\mu^{2} = 2}\lambda^{2}\]
\[{\lambda^{2} = 2}\mu^{2}\]
που σημαίνει ότι ο \(\lambda^{2}\) είναι άρτιος άρα και ο \(\lambda\) θα είναι άρτιος.
Αρχικά είχαμε πει ότι το κλάσμα \(\frac{\kappa}{\lambda}\) δεν μπορεί να απλοποιηθεί περισσότερο, όμως αυτό είναι άτοπο αν ταυτόχρονα τα κ,λ είναι άρτιοι αριθμοί διότι οι άρτιοι πάντα απλοποιούνται!
Άρα η υπόθεση που κάναμε ως αληθής, δηλαδή ότι:
«ο \(\sqrt{2}\) να είναι ρητός»
δεν είναι αληθής, είναι δηλαδή ψευδής δηλαδή καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι:
«ο \(\sqrt{2}\) να είναι άρρητος».
Να δείξετε ότι:
Αν α ρητός και β άρρητος, τότε \(\alpha + \beta\) άρρητος.
Αν α ρητός, με \(\alpha \neq 0\), και β άρρητος, τότε \(\alpha \cdot \beta\) άρρητος.
Λύση:
Για την πρώτη περίπτωση έχουμε στην υπόθεση (δεδομένο) ότι ο αριθμός α είναι ρητός και ότι ο αριθμός β είναι άρρητος.
Εμείς τώρα θέλουμε να αποδείξουμε ότι ο αριθμός \(\alpha + \beta\) είναι άρρητος, επομένως θα υποθέσουμε την αντίθετη πρόταση ως αληθής δηλαδή ότι:
“ο αριθμός α+β είναι ρητός”
Δηλαδή ο αριθμός \(γ=α+β\) είναι ρητός. Τότε ο αριθμός \(β=γ-α\) θα είναι ρητός ως διαφορά ρητών αριθμών. Όταν αφαιρούμε δύο ρητούς, δηλαδή δύο κλάσματα της μορφής
\[\frac{\kappa}{\lambda},\kappa,{\lambda \in {\mathbb{Z}}}\]
πάντα προκύπτει ένα κλάσμα της ίδια μορφής, π.χ.
\[{\frac{2}{3} - \frac{5}{6}} = \frac{- 1}{6}\]
Όμως στην υπόθεση έχουμε ότι ο αριθμός β είναι άρρητος και όχι ρητός που αποδείξαμε! Δηλαδή οδηγηθήκαμε σε άτοπο.
Επομένως ο σωστός ισχυρισμός είναι ο αντίθετος αυτού που δεχτήκαμε εξ αρχής, δηλαδή ότι:
“ο αριθμός \(α+β\) είναι άρρητος”
Σε αυτό το σημείο να πούμε ότι το άθροισμα, η διαφορά, το γινόμενο και το πηλίκο δύο ρητών αριθμών είναι ρητός.
Για την δεύτερη περίπτωση υποθέτουμε ότι:
“ο αριθμός \(\alpha \cdot \beta\) είναι ρητός”
επομένως θα είναι ρητός και ο \(\gamma = {\alpha \cdot \beta}\), που γράφεται ως \(\beta = \frac{\gamma}{\alpha}\). Γιατί οι αριθμοί γ και α είναι ρητοί άρα και το πηλίκο β θα είναι και αυτός ρητός. Αυτό όμως έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση που ορίζει ο αριθμός β να είναι άρρητος. Επομένως έχουμε άτοπο
Δηλαδή καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι
“o αριθμός \(\alpha \cdot \beta\) είναι άρρητος”