1.0 Η Πρώτη Γνωριμία με τα Διανύσματα
1. Μονόμετρα και Διανυσματικά Μεγέθη
Κάποια μεγέθη στη ζωή μας περιγράφονται πανεύκολα. Αν σε ρωτήσω "πόση ώρα έκανες να έρθεις;", θα μου πεις "30 λεπτά". Αυτός ο αριθμός (30) και η μονάδα μέτρησης (λεπτά) μου αρκούν για να καταλάβω πλήρως. Τέτοια μεγέθη (όπως ο χρόνος, η μάζα, η θερμοκρασία) λέγονται βαθμωτά ή μονόμετρα.
Τι γίνεται όμως αν σου πω: "Ένα αυτοκίνητο τρέχει με 100 χιλιόμετρα την ώρα" και σε ρωτήσω "Πού θα βρίσκεται σε μία ώρα;" Δεν μπορείς να μου απαντήσεις! Γιατί; Επειδή χρειάζεσαι κι άλλες πληροφορίες:
- Από πού ξεκίνησε; (Αφετηρία)
- Προς τα πού πάει; (Πάει βόρεια; Πάει νότια;)
Τα μεγέθη (όπως η ταχύτητα, η δύναμη, η μετατόπιση) που για να τα καταλάβουμε πλήρως χρειαζόμαστε μέτρο (πόσο) και κατεύθυνση (προς τα πού), ονομάζονται διανυσματικά μεγέθη.
2. Τι είναι τελικά το Διάνυσμα;
Στα μαθηματικά και στη Φυσική, για να ζωγραφίσουμε και να μελετήσουμε αυτά τα μεγέθη, χρησιμοποιούμε απλώς ένα βελάκι! Αυτό το βελάκι λέγεται διάνυσμα.
Ένα διάνυσμα που ξεκινάει από το σημείο $A$ (που το λέμε αρχή ή σημείο εφαρμογής) και καταλήγει στο σημείο $B$ (που το λέμε πέρας), συμβολίζεται με $\vec{AB}$. Πολλές φορές, για συντομία, του δίνουμε ένα μικρό γράμμα της ελληνικής αλφαβήτου, όπως $\vec{\alpha}$.
Κάθε διάνυσμα έχει 4 βασικά χαρακτηριστικά:
| Χαρακτηριστικό | Τι σημαίνει με απλά λόγια |
|---|---|
| Σημείο Εφαρμογής | Το "καρφί" που κρατάει το διάνυσμα στη θέση του. Είναι το σημείο $A$ από όπου ξεκινάει το βέλος (η αρχή του). |
| Διεύθυνση | Η αόρατη "ράγα" (ευθεία) πάνω στην οποία κινείται το βελάκι. Δύο παράλληλα βελάκια έχουν την ίδια διεύθυνση. |
| Φορά | Το προς τα πού δείχνει η μύτη του βέλους πάνω στη ράγα (π.χ. αριστερά ή δεξιά). |
| Μέτρο | Το μήκος του βέλους. Είναι πάντα θετικός αριθμός (ή μηδέν) και συμβολίζεται με $\vert\vec{AB}\vert$ ή $\vert\vec{\alpha}\vert$. |
Προσοχή: Η διεύθυνση και η φορά μαζί, μας δίνουν την κατεύθυνση του διανύσματος! Δεν πρέπει να μπερδεύουμε τη διεύθυνση με τη φορά. Η "οδός Ερμού" είναι μια διεύθυνση. Το να περπατάς "προς το Σύνταγμα" ή "προς το Μοναστηράκι" είναι δύο αντίθετες φορές πάνω στην ίδια διεύθυνση.
Στα Μαθηματικά της Β' Λυκείου θα ασχοληθούμε κυρίως με ελεύθερα διανύσματα. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να "μεταφέρουμε" ένα διάνυσμα οπουδήποτε στο χώρο (σε παράλληλη θέση), αρκεί να μην αλλάξουμε τη διεύθυνση, τη φορά και το μέτρο του. Στη Φυσική όμως, το σημείο εφαρμογής είναι πολλές φορές αμετακίνητο, γιατί μας δείχνει ακριβώς πού ασκείται, π.χ., μια δύναμη.
Εκφώνηση: Ένας αθλητής σπρώχνει μια σφαίρα εφαρμόζοντας δύναμη $\vec{F_{1}}$ στο κέντρο της. Αν μετακινήσει το χέρι του και εφαρμόσει την ίδια δύναμη $\vec{F_{2}}$ σε ένα άλλο σημείο της σφαίρας (π.χ. στην άκρη της), είναι το ίδιο πράγμα;
Λύση: Αν και το μέτρο, η διεύθυνση και η φορά της δύναμης παραμένουν ίδια, το σημείο εφαρμογής άλλαξε. Στη Φυσική, αυτό σημαίνει ότι το αποτέλεσμα θα είναι διαφορετικό (π.χ. η σφαίρα μπορεί να αρχίσει να περιστρέφεται αντί να πάει μόνο ευθεία). Επομένως, το σημείο εφαρμογής είναι κρίσιμο στοιχείο για την πλήρη περιγραφή της δύναμης!
3. Μέτρο Διανύσματος: Απόσταση vs Μετατόπιση
Για να κατανοήσουμε καλύτερα την έννοια του μέτρου του διανύσματος, αρκεί να καταλάβουμε τη διαφορά μεταξύ απόστασης και μετατόπισης. Ας δούμε ένα παράδειγμα:
Εκφώνηση: Ένα επιβατηγό πλοίο εκτελεί κρουαζιέρα στον Σαρωνικό. Αποπλέει από το λιμάνι του Πειραιά (Α) και σταματάει διαδοχικά στα λιμάνια της Ύδρας (Β), του Πόρου (Γ) και του Αγκιστρίου (Δ), πριν καταλήξει στον τελικό του προορισμό, την Αίγινα (Ε). Οι αποστάσεις (σε ναυτικά μίλια) που διανύει σε κάθε σκέλος του ταξιδιού δίνονται στον παρακάτω πίνακα:
| Διαδρομή | Απόσταση (ν.μ.) |
|---|---|
| $A \rightarrow B$ (Πειραιάς - Ύδρα) | $37$ |
| $B \rightarrow \Gamma$ (Ύδρα - Πόρος) | $12$ |
| $\Gamma \rightarrow \Delta$ (Πόρος - Αγκίστρι) | $14$ |
| $\Delta \rightarrow E$ (Αγκίστρι - Αίγινα) | $4$ |
Ποια είναι η συνολική απόσταση που διένυσε το πλοίο και ποια είναι η απόσταση της τελικής από την αρχική του θέση (σε ευθεία γραμμή);
Λύση:
Η συνολική απόσταση ή διάστημα που διένυσε το πλοίο (το πόσο ταξίδεψε συνολικά) υπολογίζεται προσθέτοντας τα επιμέρους σκέλη:
Η απόσταση όμως της αρχικής από την τελική του θέση (δηλαδή η απόσταση Πειραιάς - Αίγινα σε ευθεία γραμμή) γνωρίζουμε ότι είναι περίπου:
Συμπέρασμα: Η απόσταση ή διάστημα είναι ένα βαθμωτό (μονόμετρο) μέγεθος. Λέγοντας ότι το πλοίο διένυσε 67 ν.μ., ξέρουμε πόσα καύσιμα έκαψε, αλλά δεν έχουμε ιδέα πού κατέληξε. Συνήθως συμβολίζεται με $s$ ή $d$ ή $l$.
Η μετατόπιση του πλοίου, από την άλλη πλευρά, είναι διανυσματικό μέγεθος. Εκφράζεται από το διάνυσμα $\vec{AE}$, το οποίο έχει αρχή τον Πειραιά (Α) και πέρας την Αίγινα (Ε). Το μέτρο της μετατόπισης $ \vec{AE}$ είναι $\vert\vec{AE}\vert = 15$ ν.μ., το οποίο αγνοεί τις ενδιάμεσες "βόλτες" και μας δείχνει την καθαρή αλλαγή θέσης του πλοίου! Συνήθως συμβολίζεται με $\vec{Δx}$
4. Ίσα και Αντίθετα Διανύσματα
Φαντάσου δύο φίλους που σπρώχνουν δύο ολόιδια θρανία προς τον ίδιο τοίχο, βάζοντας ακριβώς την ίδια δύναμη. Τα "βελάκια" της δύναμής τους είναι ολόιδια.
Αν όμως παίζουν διελκυστίνδα (τραβούν ένα σχοινί) και οι δυνάμεις τους ισορροπούν, τότε τραβούν με το ίδιο μέτρο δύναμης, βρίσκονται στην ίδια ευθεία, αλλά τραβούν σε αντίθετες μεριές. Τα βελάκια τους είναι αντίθετα.
Δύο διανύσματα λέγονται ίσα όταν έχουν την ίδια διεύθυνση, την ίδια φορά και ίσα μέτρα. Συμβολίζουμε: $\vec{\alpha} = \vec{\beta}$.
Δύο διανύσματα είναι αντίθετα όταν έχουν την ίδια διεύθυνση, ίσα μέτρα, αλλά αντίθετη φορά. Συμβολίζουμε: $\vec{\alpha} = -\vec{\beta}$.
Δύο διανύσματα ονομάζονται ίσα όταν έχουν το ίδιο μέτρο, την ίδια διεύθυνση (είναι δηλαδή παράλληλα) και την ίδια φορά. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε $\vec{\alpha} = \vec{\beta}$. Αντίθετα, δύο διανύσματα ονομάζονται αντίθετα όταν έχουν το ίδιο μέτρο και την ίδια διεύθυνση, αλλά αντίθετη φορά. Αν ένα διάνυσμα το συμβολίσουμε με $\vec{\alpha}$, τότε το αντίθετό του συμβολίζεται με $-\vec{\alpha}$. Για δύο αντίθετα διανύσματα ισχύει πάντα ότι έχουν ίσα μέτρα, δηλαδή $\vert\vec{\alpha}\vert = \vert-\vec{\alpha}\vert$.
Εκφώνηση: Δίνεται ένα τετράγωνο $AB\Gamma\Delta$. Στις πλευρές του ορίζουμε τα διανύσματα $\vec{AB}, \vec{B\Gamma}, \vec{\Gamma\Delta}, \vec{\Delta A}$ καθώς και τα $\vec{\Delta\Gamma}$ και $\vec{\Gamma B}$. Να εξετάσετε ποια από αυτά τα διανύσματα: α) Έχουν ίσα μέτρα. β) Είναι ίσα μεταξύ τους. γ) Είναι αντίθετα μεταξύ τους.
Λύση:
Από τη Γεωμετρία γνωρίζουμε ότι σε ένα τετράγωνο όλες οι πλευρές είναι ίσες και οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες.
α) Διανύσματα με ίσα μέτρα: Αφού όλες οι πλευρές του τετραγώνου έχουν το ίδιο μήκος, όλα τα διανύσματα που βρίσκονται πάνω σε αυτές έχουν ίσα μέτρα:
β) Ίσα διανύσματα: Για να είναι δύο διανύσματα ίσα, πρέπει να έχουν ίσα μέτρα, παράλληλους φορείς (ίδια διεύθυνση) και ίδια φορά.
- Τα διανύσματα $\vec{AB}$ και $\vec{\Delta\Gamma}$ είναι παράλληλα, έχουν ίσα μέτρα και δείχνουν προς την ίδια κατεύθυνση. Άρα: $\vec{AB} = \vec{\Delta\Gamma}$.
- Όμοια $\vec{ΒΑ} = \vec{\Gamma\Delta}$, $\vec{Α\Delta} = \vec{Β\Gamma}$, $\vec{\Delta Α} = \vec{\Gamma Β}$
γ) Αντίθετα διανύσματα: Για να είναι αντίθετα, πρέπει να έχουν ίσα μέτρα, παράλληλους φορείς, αλλά αντίθετη φορά.
- Τα $\vec{AB}$ και $\vec{\Gamma\Delta}$ είναι αντίθετα (το ένα δείχνει δεξιά και το άλλο αριστερά): $\vec{AB} = -\vec{\Gamma\Delta}$.
- Τα $\vec{B\Gamma}$ και $\vec{\Gamma B}$ είναι επίσης αντίθετα, αφού βρίσκονται στην ίδια ευθεία αλλά κοιτούν αντίρροπα.
- Με όμοια τρόπο φτιάχνουμε και τους υπόλοιπους συνδυασμούς.
Εκφώνηση: Πάνω σε μια ευθεία βρίσκονται τα σημεία $O, A, B, \Gamma, \Delta, E, Z, H, \Theta$ (με αυτή τη σειρά από αριστερά προς τα δεξιά). Οι αποστάσεις μεταξύ δύο οποιωνδήποτε διαδοχικών σημείων είναι ίσες με $1 \text{ cm}$. α) Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων $\vec{OB}, \vec{O\Gamma}, \vec{\Theta Z}$ και $\vec{\Delta A}$. β) Ποια από αυτά είναι αντίθετα;
Λύση:
Σε αυτή την άσκηση, όλοι οι φορείς των διανυσμάτων ταυτίζονται (αφού όλα τα σημεία βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία). Επομένως, όλα τα διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση.
α) Εύρεση Μέτρων: Το μέτρο κάθε διανύσματος είναι το μήκος του αντίστοιχου ευθύγραμμου τμήματος. Αφού κάθε "βήμα" από γράμμα σε γράμμα είναι $1 \text{ cm}$, αρκεί να μετρήσουμε τα βήματα:
- Το $\vec{OB}$ ξεκινά από το $O$ και πάει στο $B$ (2 βήματα). Άρα: $\vert\vec{OB}\vert = 2 \text{ cm}$.
- Το $\vec{O\Gamma}$ (από το $O$ στο $\Gamma$ είναι 3 βήματα). Άρα: $\vert\vec{O\Gamma}\vert = 3 \text{ cm}$.
- Το $\vec{\Theta Z}$ πάει ανάποδα, από το $\Theta$ στο $Z$ (2 βήματα). Άρα: $\vert\vec{\Theta Z}\vert = 2 \text{ cm}$.
- Το $\vec{\Delta A}$ πάει από το $\Delta$ στο $A$ (3 βήματα). Άρα: $\vert\vec{\Delta A}\vert = 3 \text{ cm}$.
β) Σύγκριση Διανυσμάτων: Για να συγκρίνουμε, ελέγχουμε τα μέτρα και τη φορά (προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά):
- Το $\vec{OB}$ έχει μέτρο $2 \text{ cm}$ και φορά προς τα δεξιά.
- Το $\vec{\Theta Z}$ έχει μέτρο $2 \text{ cm}$ και φορά προς τα αριστερά. Άρα, τα $\vec{OB}$ και $\vec{\Theta Z}$ είναι αντίθετα.
Ομοίως:
- Το $\vec{O\Gamma}$ έχει μέτρο $3 \text{ cm}$ (προς τα δεξιά).
- Το $\vec{\Delta A}$ έχει μέτρο $3 \text{ cm}$ (προς τα αριστερά). Άρα, τα $\vec{O\Gamma}$ και $\vec{\Delta A}$ είναι αντίθετα.
5. Ερωτήσεις Κατανόησης
Εκφώνηση: Στο διπλανό σχήμα το $AB\Gamma\Delta$ είναι παραλληλόγραμμο. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είναι σωστές και γιατί;
- $\vec{AB} = \vec{\Delta\Gamma}$
- $\vec{A\Delta} = \vec{\Gamma B}$
- $\vert\vec{AB}\vert = \vert\vec{\Gamma\Delta}\vert$
Εκφώνηση: Στο διπλανό σχήμα το τετράπλευρο $AB\Gamma\Delta$ είναι ρόμβος (δηλαδή έχει όλες τις πλευρές του ίσες). Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είναι σωστές;
- $\vec{AB} = \vec{B\Gamma}$
- $\vert\vec{AB}\vert = \vert\vec{B\Gamma}\vert$
- $\vec{AB} = -\vec{\Gamma\Delta}$
Εκφώνηση: Στο διπλανό κανονικό εξάγωνο $AB\Gamma\Delta EZ$ με κέντρο $O$, τα έξι τρίγωνα που σχηματίζονται από τις διαγώνιές του είναι ισόπλευρα. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες (βρίσκοντας τα κατάλληλα διανύσματα):
- $\vec{AB} = \dots = \dots$
- $\vec{AO} = \dots = \dots$
- $\vert\vec{E\Delta}\vert = \vert\dots\vert$
Εκφώνηση: Ποια από τα παρακάτω μεγέθη χρειάζονται ένα διάνυσμα για να παρασταθούν (δηλαδή είναι διανυσματικά);
- Το βάρος
- Το ύψος
- Η μάζα
- Η ταχύτητα
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
7. Ασκήσεις Εμπέδωσης
Εκφώνηση: Στο εξάγωνο του διπλανού σχήματος όλες οι πλευρές είναι ίσες (κανονικό εξάγωνο). Δίνονται τα διανύσματα $\vec{AB}, \vec{B\Gamma}, \vec{\Gamma\Delta}, \vec{\Delta E}, \vec{EZ}$ και $\vec{ZA}$.
Από αυτά τα διανύσματα:
- Ποια είναι ίσα μεταξύ τους;
- Ποια είναι αντίθετα;
Εκφώνηση: Σε ένα παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$, έστω $O$ το σημείο τομής των διαγωνίων του. Να γράψετε:
- Ένα διάνυσμα ίσο με το $\vec{AO}$.
- Ένα διάνυσμα αντίθετο του $\vec{AB}$.
- Δύο διανύσματα που να έχουν ίσα μέτρα.
Εκφώνηση: Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB = A\Gamma$. Έστω $M$ το μέσο της βάσης $B\Gamma$. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι παρακάτω προτάσεις:
- $\vec{AB} = \vec{A\Gamma}$
- $\vert\vec{AB}\vert = \vert\vec{A\Gamma}\vert$
- $\vec{BM} = \vec{M\Gamma}$
Εκφώνηση: Στο διπλανό σχήμα έχουν σχεδιαστεί διάφορα τυχαία διανύσματα. Παρατηρώντας τα προσεκτικά, να βρείτε ποια από αυτά:
- Έχουν ίσα μέτρα;
- Είναι ίσα;
- Είναι αντίθετα;
Εκφώνηση: Στο διπλανό τετραγωνισμένο σχήμα (όπου η πλευρά κάθε μικρού τετραγώνου είναι $1 \text{ cm}$), έχουν σχεδιαστεί τα διανύσματα $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ και $\vec{\delta}$.
Να βρείτε το μέτρο των διανυσμάτων αυτών, δηλαδή τα $\vert\vec{\alpha}\vert, \vert\vec{\beta}\vert, \vert\vec{\gamma}\vert$ και $\vert\vec{\delta}\vert$.
Εκφώνηση: Δίνονται δύο διανύσματα $\vec{x}$ και $\vec{y}$ για τα οποία γνωρίζουμε ότι $\vert\vec{x}\vert = \vert\vec{y}\vert$. Μπορούμε να συμπεράνουμε με σιγουριά ότι $\vec{x} = \vec{y}$; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας με ένα σχήμα.
Εκφώνηση: Στη δοκό $A\Gamma$ του διπλανού σχήματος έχουν σχεδιαστεί οι δυνάμεις $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \vec{F_3}, \vec{F_4}$ και $\vec{F_5}$. Να βρείτε ποιες από αυτές:
- Έχουν ίδια διεύθυνση.
- Έχουν αντίθετη φορά.
- Είναι αντίθετες.
- Είναι ίσες.
- Έχουν ίσα μέτρα.
Εκφώνηση: Έστω ένα παραλληλόγραμμο $ΑΒΓΔ$. Να συγκρίνετε τα διανύσματα $\vec{ΑΒ}$ και $\vec{ΔΓ}$.
Μια μικρή κουβέντα πριν ξεκινήσουμε: Αν ακούς τη λέξη "διάνυσμα" για πρώτη φορά, μην αγχώνεσαι καθόλου! Στην πραγματικότητα, χρησιμοποιείς τα διανύσματα καθημερινά χωρίς να το καταλαβαίνεις. Σε αυτό το εισαγωγικό φυλλάδιο θα δούμε τις έννοιες με πολύ απλό και πρακτικό τρόπο, ώστε να χτίσουμε γερά θεμέλια πριν "βουτήξουμε" στα βαθιά νερά της Β' Λυκείου.