1. Βασικές Πράξεις και Έννοιες
Θεωρία
- Το σύνολο `NN= { 0,1,2,3,... }` περιέχει τους φυσικούς αριθμούς.
- Το σύνολο `ZZ= { … -2, -1, 0, 1, 2, … }` περιέχει τους ακέραιους αριθμούς.
- Οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν με την μορφή κλάσματος `μ / ν ` με `ν ne 0`ονομάζονται ρητοί αριθμοί και το σύνολο που τους περιέχει συμβολίζεται με `QQ`.
- Ο αριθμοί που δεν είναι ρητοί ονομάζονται άρρητοι, παραδείγματα τέτοιων αριθμών είναι το `π=3.14…`, `e=2,718…`, `sqrt(2)`, κτλ
- Το σύνολο όλων των παραπάνω αριθμών ονομάζεται σύνολο των πραγματικών αριθμών περιέχει δηλαδή τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς. Συμβολίζεται με `RR`.
- Ο άξονας των πραγματικών αριθμών είναι μία ευθεία (χωρίς αρχή και τέλος). Η ευθεία αυτή αποτελείται από διαδοχικά σημεία το ένα δίπλα στο άλλο. Κάθε σημείο αναπαριστά και έναν πραγματικό αριθμό. Αφού τα σημεία της ευθείας είναι άπειρα, θα είναι άπειροι και οι αριθμοί. Το σημείο με τον αριθμό μηδέν 0 ονομάζεται αρχή του άξονα. Ο άξονας αυτός έχει προσανατολισμό, που είναι ένα βέλος που γράφουμε προς τα δεξιά. Αυτό σημαίνει ότι οι αριθμοί αυξάνονται προς στα δεξιά. Αυτό ονομάζεται και διάταξη.
- Αλγεβρικά η απόλυτη τιμή ενός αριθμού ορίζεται ώς: `abs( x )= { (x, αν x>=0),(-x, αν x<0) :} `, ενώ γραφικά είναι η απόσταση του αριθμού από το μηδέν (την αρχή του άξονα).
- Για κάθε αριθμό είναι `abs x>=0`
- Το αποτέλεσμα της πρόσθεσης ονομάζεται άθροισμα ενώ οι αριθμοί που προσθέτουμε ονομάζονται προσθετέοι ή όροι.
- Για να προσθέσουμε δύο αριθμούς παίρνουμε πρόσημο από τον αριθμό με την μεγαλύτερη απόλυτη τιμή και εάν οι αριθμοί είναι ομόσημοι τους προσθέτουμε ενώ εάν είναι ετερόσημοι τους αφαιρούμε.
- Η πρόσθεση έχει τις παρακάτω ιδιότητες: (ιδιότητες της πρόσθεσης)
- Αντιμεταθετική ιδιότητα η οποία με λέει ότι δεν έχει σημασία με ποια σειρά θα προσθέσουμε τους δύο προσθετέους, έχει τύπο: `α+β=β+α`.
- Προσεταιριστική ιδιότητα που μας λέει ότι εάν έχουμε τρεις προσθετέους μπορούμε να τους προσθέσουμε με όποια σειρά θέλουμε, με τύπο `(α+β)+γ=α+(β+γ)`.
- Ουδέτερο στοιχείο, που είναι ο αριθμός μηδέν, οποίος όταν προστεθεί σε οποιαδήποτε άλλον αριθμό δίνει πάλη τον ίδιο αριθμό. Έχει τύπο `α+0=α`.
- Ο αντίθετος ενός αριθμού `α` είναι ο `-α` με την ιδιότητα `α+(-α)=0`.
- Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού ονομάζεται γινόμενο ενώ οι αριθμοί που πολλαπλασιάζουμε ονομάζονται παράγοντες.
- Για να κάνουμε πολλαπλασιασμό υπολογίζουμε αρχικά το πρόσημο. Αν οι παράγοντες είναι ομόσημοι τότε παίρνουμε θετικό πρόσημο ενώ εάν οι παράγοντες είναι ετερόσημοι τότε παίρνουμε αρνητικό πρόσημο. Τέλος κάνουμε κανονικά τον πολλαπλασιασμό.
- Ο πολλαπλασιασμός έχει τις παρακάτω ιδιότητες.(Ιδιότητες του πολ/σμού)
- Αντιμεταθετική ιδιότητα η οποία με λέει ότι δεν έχει σημασία με ποια σειρά θα πολλαπλασιάσουμε τους δύο παράγοντες, έχει τύπο: `α cdot β=β cdot α`.
- Προσεταιριστική ιδιότητα που μας λέει ότι εάν έχουμε τρεις παράγοντες μπορούμε να τους πολλαπλασιάσουμε με όποια σειρά θέλουμε, με τύπο `(α cdot β) cdot γ=α cdot (β cdot γ)`.
- Ουδέτερο στοιχείο, που είναι ο αριθμός 1, οποίος όταν πολλαπλασιαστεί σε οποιαδήποτε άλλον αριθμό δίνει πάλη τον ίδιο αριθμό. Έχει τύπο `α cdot 1=α`.
- Ο αντίστροφος ενός αριθμού `α` είναι ο `1 / α` με την ιδιότητα `α cdot (1 / α)=1`.
- Η επιμεριστική ιδιότητα είναι κοινή ιδιότητα του πολλαπλασιασμού και της πρόσθεσης. Αλγεβρικά γράφουμε: `α cdot (β + γ)=α cdot β + α cdot γ`. Ακόμα έχουμε `(α+β)(γ+δ)=αγ+αδ+βγ+βδ` κ.τ.λ.
- Προσοχή πρέπει να δίνουμε όταν έχουμε διαιρέσεις
- `(α+-β):γ=α:γ+-β:γ` ή `(α +- β) / γ = α / γ +- ( β / γ)`
- Δεν επιτρέπεται η `γ: (α+-β)=γ:α +- γ:β`
- Για να υπολογίσουμε τον αντίθετο (x) ενός αριθμού (α) αρκεί να λύσουμε την εξίσωση: `α+x=0`. Ενώ για να υπολογίσουμε τον αντίστροφο (x) ενός αριθμού (α) αρκεί να λύσουμε την εξίσωση: `α cdot x =1`.
- Οι πράξεις είναι δύο: η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός. Ορίζουμε την αφαίρεση και την διαίρεση με την βοήθεια των δύο παραπάνω.
- Το αποτέλεσμα της αφαίρεσης `α-β` ονομάζεται διαφορά ενώ οι δύο αριθμοί που αφαιρούμε ονομάζονται μειωτέος ο πρώτος (α) και αφαιρετέος ο δεύτερος (β). Για να κάνουμε αφαίρεση προσθέτουμε στην μειωτέο τον αντίθετο του αφαιρετέου: `α-β=α+(-β)`
- Το αποτέλεσμα τη διαίρεσης `α / β` ονομάζεται και λόγος, συμβολίζεται δε με την μορφή κλάσματος. Ο αριθμητής του κλάσματος (α) είναι ο διαιρετέος ενώ ο παρανομαστής (β) είναι ο διαιρέτης. Για να κάνουμε διαίρεση πολλαπλασιάζουμε στον διαιρετέο τον αντίστροφο του διαιρέτη: `α cdot β = α cdot (1 / β)`. Εάν εφαρμόσουμε τον αλγόριθμο της Ευκλείδειας διαίρεσης θα υπολογίζουμε το πηλίκο (π) και το υπόλοιπο (υ). Ισχύει η ιδιότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης `α=β cdot π +υ`.
- Κλάσμα είναι ένας αριθμός της μορφής `α / β` με `β ne 0`. Το α ονομάζεται αριθμητής και το β παρανομαστής.
- Για να απλοποιήσουμε ένα κλάσμα διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρανομαστή με τον μέγιστο κοινό διαιρέτη του αριθμητή και του παρανομαστή. Το κλάσμα που δεν απλοποιείται περισσότερο ονομάζεται ανάγωγο.
- Για να προσθέσουμε δύο κλάσματα πρέπει να είναι ομώνυμα δηλαδή να έχουν ίδιο παρανομαστή. Για να κάνουμε δύο κλάσματα ομώνυμα χρησιμοποιούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των δύο παρανομαστών. Για να ολοκληρώσουμε την πρόσθεση πρέπει να προσθέσουμε τους δύο αριθμητές και να βάλουμε σαν παρανομαστή τον κοινό παρανομαστή των δύο κλασμάτων.
- Για να πολλαπλασιάσουμε δύο κλάσματα πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές και τους παρανομαστές των δύο κλασμάτων.
- Για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα αλλάζουμε την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό και αντιστρέφουμε το δεύτερο κλάσμα.
- Λόγος δύο αριθμών είναι το κλάσμα `x / y` με `y ne 0`.
- Αναλογία είναι η ισότητα δύο λόγων: `x / y = φ / ω`, `x cdot ω ne 0`, οι αριθμητές ονομάζονται και ηγούμενοι όροι ενώ οι παρανομαστές και επόμενοι όροι. Ακόμα τα x και ω ονομάζονται άκροι και οι y και φ μέσοι όροι.
- Οι αναλογίες έχουν τις παρακάτω ιδιότητες:
- ` x / y = φ / ω iff x cdot ω = y cdot φ`
- `x / y = φ / ω iff ω / y = φ / x` ή `x / φ = y / ω` ή `ω / φ = y / x` δηλαδή μετακινώ τις μεταβλητές διαγώνια.
- `x / y=φ / ω iff ( x+-y )/( y) =( φ+-ω )/ ω` ή ` x /( y+-x )=φ / ( ω+-φ ) ` δηλαδή προσθέτω τους αριθμητές ή τους παρανομαστές.
- `x / y = φ / ω =( x+φ )/( y+ω )`
- Οι πράξει γίνονται με την παρακάτω προτεραιότητα:
- Παρενθέσεις
- Απόλυτες τιμές
- Δυνάμεις
- Πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις
- Προσθέσεις και αφαιρέσεις
- Δύο αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι όταν έχουν ίδιο πρόσημο, ισχύει `α cdot β >0` και `α / β >0, β ne 0`. Ενώ ονομάζονται ετερόσημοι όταν έχουν αντίθετο πρόσημο, ισχύει ότι `α cdot β <0` και `α / β <0, β ne 0`
- Το μηδέν (0) δεν έχει πρόσημο, ούτε αντίθετο και αντίστροφο. Ότι πολλαπλασιάζουμε με το μηδέν δίνει αποτέλεσμα μηδέν και ότι προσθέτουμε με το μηδέν δίνει ως αποτέλεσμα τον ίδιο τον αριθμό που προσθέτουμε.
- Όταν μπροστά από μία παρένθεση υπάρχει το – τότε βγάζουμε την παρένθεση αλλάζοντας όλα τα πρόσημα μέσα στην παρένθεση.
- Το γινόμενο άρτιου πλήθους παραγόντων έχει θετικό πρόσημο ενώ το γινόμενο περιττού πλήθους παραγόντων έχει αρνητικό πρόσημο.
- Ένας δεκαδικός αριθμός με άπειρο αριθμό δεκαδικών ψηφίων όπου ένα τμήμα αυτών των ψηφίων επαναλαμβάνεται ονομάζεται απειροψήφιος περιοδικός δεκαδικός αριθμός ή απλά περιοδικός αριθμός, π.χ. `0.34565656...=0.34bar(56)` Οι αριθμοί αυτοί είναι ρητοί και μπορούν να γραφούν με την μορφή κλάσματος. Για να γίνει η μετατροπή σε κλάσμα ακολουθούμε τον παρακάτω αλγόριθμο:
- Έστω α ο περιοδικός αριθμός
- Εντοπίζουμε το πρώτο και το δεύτερο μέρος της περιόδου.
- Πολλαπλασιάζουμε με κατάλληλες δυνάμεις του 10 ώστε η υποδιαστολή να βρεθεί μπροστά από το πρώτο και το δεύτερο μέρος της περιόδου.
- Αφαιρούμε τις δύο σχέσεις
- Ακολουθεί ένα παράδειγμα μετατροπής του αριθμού 0.3456565656…
- Έστω α=0.34565656…
- Η περίοδος είναι το 56 και πρώτη φορά εμφανίζεται στο 0.34565656… και δεύτερη φορά στο 0.34565656…
- Πολλαπλασιάζουμε με 100 και 10000 αντίστοιχα: `100α=34.565656…` και `10000α=3456.565656…`
- Αφαιρούμε κατά μέλη αυτές τις δύο σχέσεις: `10000α-100α=3422` ή `9900α=3422` ή `α=3422 / 9900`
- Για να υπολογίσουμε τον μέσο όρο ή μέση τιμή ενός πλήθους δεδομένων αρκεί να τα προσθέσουμε και να διαιρέσουμε με το πλήθος τους, π.χ. αν στο μάθημα των μαθηματικών έχετε πάρει τους βαθμούς 13, 15, 12, 14 και 15 τότε η μέση τιμή αυτών των βαθμολογιών είναι
- `(13+15+12+14+15) / (5)=``(12 cdot 1+13 cdot 1+14 cdot 1+ 15 cdot 2) / (5)=69 / 5=13.8`
- Σε κάθε σημείο ενός άξονα έχουμε αντιστοιχίσει και έναν αριθμό, που η απόλυτή του τιμή είναι η απόσταση του σημείου από την αρχή. Τον αριθμό αυτό μπορούμε να τον ονομάζουμε θέση και την απόλυτη τιμή του μέτρο της θέσης. Έτσι εάν ένα αυτοκίνητο βρίσκεται κάποια χρονική στιγμή σε κάποιο σημείο του άξονα, το σημείο αυτό θα το ονομάζουμε θέση του αυτοκινήτου, π.χ. εάν είναι βρίσκεται στον αριθμό -3 θέση του είναι `x = -3` και απέχει από το μηδέν `abs(-3)=3` μονάδες. Αργότερα θα δούμε ότι η θέση είναι ένα διάνυσμα (βέλος) που έχει αρχή το σημείο αναφοράς (αρχή του άξονα) και πέρας το σημείο στο οποίο βρίσκεται το αυτοκίνητο. Τα διανύσματα έχουν μέτρο (=μήκος), διεύθυνση (=ευθεία) και φορά (=προσανατολισμός).
- Ας υποθέσουμε τώρα ότι ένα αυτοκίνητο βρίσκεται αρχικά στην θέση Ο(0km). Βλέπε το σχήμα στην σελίδα 15 του σχολικού. Το αυτοκίνητο μετακινείται προς τα αριστερά στην θέση Β(-4km) και μετά προς τα δεξιά στην θέση Γ(5Km). Το συνολικό διάστημα που έχει διανύσει το όχημα είναι η συνολική απόσταση που έχει κάνει σε όλη την διαδρομή, δηλαδή 4km προς τα αριστερά και 9km προς τα δεξιά, συνολικά 13km. Το διάστημα είναι μονόμετρο μέγεθος.
- Στο παραπάνω παράδειγμα αν το όχημα ξεκινούσε από την αρχική θέση Ο(0km) και κατευθυνόταν κατευθείαν προς την τελική θέση Γ(5km) τότε θα έκανε μόνο 5km. Αυτό είναι το μέτρο της μετατόπισης. Αργότερα θα δούμε ότι η μετατόπιση είναι ένα διανυσματικό μέγεθος (βέλος) που έχει αρχή το σημείο όπου ξεκινάει την κίνηση το όχημα και τέλος το σημείο όπου τελειώνει την κίνηση το όχημα.
- Η έκφραση `x cdot y ne 0` σημαίνει ότι το `x ne 0` και ταυτόχρονα το `y ne 0`
- Η έκφραση `x cdot y > 0` σημαίνει ότι οι αριθμοί x και y είναι ομόσημοι.
- Η έκφραση `x cdot y < 0` σημαίνει ότι οι αριθμοί x και y είναι ετερόσημοι.
- Η έκφραση `x cdot y=0`σημαίνει ότι `x=0 ` ή `y=0`.