Δύο μεταλλικές σφαίρες Α και Β είναι φορτισμένες με φορτία `–1 μC` και `+4 μC` αντίστοιχα. Τα κέντρα τους βρίσκονται σε απόσταση `2 m`. Να υπολογίσεις και να σχεδιάσεις (σε κοινό σχήμα) τη δύναμη που ασκεί η μία σφαίρα στην άλλη. Μπορείς να συνδέσεις αυτό που σχεδίασες με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα που διδάχτηκες στην προηγούμενη τάξη;
Λύση:
Πρέπει να λάβουμε υπόψιν μας ότι οι δυνάμεις σχεδιάζονται με την βοήθεια ενός βέλους. Αυτά τα βέλη ονομάζονται διανύσματα.
Σχεδιάζουμε δύο σφαίρες αντίθετα φορτισμένες. Βλέπε σχήμα 1.32 στο σχολικό βιβλίο, σελ 23. Σχεδιάζουμε την ευθεία που συνδέει τα δύο κέντρα των σφαιρών. Η ευθεία αυτή ονομάζεται διεύθυνση.
Πάνω σε αυτή την διεύθυνση θα σχεδιάσουμε δύο δυνάμεις (δύο βέλη-διανύσματα). Η μία `F_{:B -> A:}` θα έχει σημείο εφαρμογής το κέντρο της σφαίρας Α και η άλλη `F_{:A -> B:}` το κέντρο της σφαίρας Β. H `F_{:B -> A:}` είναι η δύναμη που ασκεί η σφαίρα Β στην σφαίρα Α και η δύναμη `F_{:A -> B:}` είναι η δύναμη που ασκεί η σφαίρα Α στην Β.
Τα μήκη αυτών των δυνάμεων πρέπει να είναι ίσα, διότι αυτές οι δυνάμεις είναι ίσες σε μέτρο. Τέλος οι δυνάμεις αυτές είναι αντίθετες και έχουν φορά προς το εσωτερικό των δύο σφαιρών, είναι δηλαδή ελκτικές. Η διεύθυνση και η φορά με μία λέξη ονομάζονται κατεύθυνση.
Με τον τρόπο αυτό ορίσαμε τα διανύσματα των δυνάμεων του προβλήματος. Το διάνυσμα είναι δηλαδή ένα βέλος που έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά. Οι δυνάμεις αυτές είναι ζεύγος δράσης - αντίδρασης που εμφανίζεται κατά την αλληλεπίδραση των δύο σφαιρών. Η δράση και η αντίδραση είναι πάντα αντίθετες δυνάμεις (ίδιο μέτρο, αντίθετη κατεύθυνση). Προσοχή, δεν μπορούμε να τις προσθέσουμε διότι είναι σε διαφορετικά σώματα.
Για να υπολογίσουμε το μέτρο αρκεί να πάρουμε τον τύπο από τον νόμο του Κουλόμπ. Έχουμε διαδοχικά:
`F_{:A -> B:}=F_{:B -> A:}=F=K {:{:abs{:q_1 cdot q_2:}:}/{:r^2:}:}`
Το Κ είναι η ηλεκτρική σταθερά που εξαρτάται από το υλικό στο οποίο είναι βυθισμένες οι σφαίρες και από το σύστημα μονάδων. Για το κενό, στο S.I. είναι: `Κ=9 cdot 10^9 {:{:N m^2:}/{:C^2:}:}`.
Τα φορτία πρέπει να μετατραπούν στο Διεθνές Σύστημα μονάδων, δηλαδή `q_1=-1μC=-1 cdot 10^{:-6:}C` και για το άλλο φορτίο έχουμε `q_1=4μC=4 cdot 10^{:-6:}C`. Η απόλυτη τιμή σημαίνει να μετατρέψουμε τα πρόσημα των φορτίων σε θετικά. Έτσι μετά από την αντικατάσταση έχουμε:
`F=9 cdot 10^9 {:{:Nm^2:}/{:C^2:}:} {:{:1 cdot 10^{:-6:} C 4 cdot 10^{:-6:}C:}/{:(2m)^2:}:}`
Εφαρμόζουμε την δύναμη στον παρανομαστή. Πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε τους αριθμούς που βρίσκονται μπροστά από τις δυνάμεις του 10. Δηλαδή `{:9 cdot 1 cdot 4:}/{:2^2:}=9`. Μετά προσθέτουμε και αφαιρούμε τις δυνάμεις του 10. Όσες είναι στον αριθμητή τις προσθέτουμε και όσες είναι στον παρανομαστή (εδώ δεν έχουμε) τις αφαιρούμε. Δηλαδή `9-6-6=-3`. Κάνουμε και απλοποιήσεις με τις μονάδες. Επομένως έχουμε:
`F=9 cdot 10^{:-3:}N`
Τα κέντρα δύο μικρών φορτισμένων σφαιρών απέχουν 24 cm. Οι σφαίρες έλκονται με δύναμη της οποίας το μέτρο είναι 0,036 Ν. Σε πόση απόσταση πρέπει να τοποθετηθούν οι σφαίρες ώστε η δύναμη με την οποία έλκονται να γίνει 0,004 Ν;
Λύση:
Αρχικά υπολογίζουμε τον λόγο των δυνάμεων πριν και μετά την μετατόπιση ο οποίος είναι ίσος με:
`{:0,036N:}/{:0,004N:}=9`
Αυτό σημαίνει ότι η δύναμη ελαττώθηκε κατά 9 φορές. Έχοντας υπόψιν μας ότι η δύναμη είναι αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης και ότι τα φορτία διατηρούνται σταθερά, βγάζουμε το συμπέρασμα ότι η απόσταση αυξήθηκε κατά 3 φορές.
Επομένως από 24cm έγινε `24 cdot3cm=72cm`.
Μικρή χάλκινη σφαίρα έχει φορτίο +3,2 μC. Η χάλκινη σφαίρα απωθεί μια επίσης φορτισμένη σιδερένια σφαίρα με δύναμη μέτρου 6,4 Ν. Πόσα ηλεκτρόνια πρέπει να μεταφερθούν από τη χάλκινη σφαίρα ώστε η δύναμη να γίνει 3,2 Ν;
Λύση:
Αρχικά να υποθέσουμε ότι σύμφωνα με την διατύπωση της άσκησης ρωτάει πόσα ηλεκτρόνια πρέπει να μεταφερθούν προς την χάλκινη σφαίρα από κάπου αλλού και όχι από την σιδερένια.
Αρχικά υπολογίζουμε τον λόγο των δυνάμεων πριν και μετά από την απομάκρυνση των ηλεκτρονίων από την χάλκινη σφαίρα:
`{:6,4:}/{:3,2:}=2`
Αυτό σημαίνει ότι η δύναμη ελαττώθηκε 2 φορές. Για να γίνει αυτό, με την προϋπόθεση ότι η απόσταση και το φορτίο της σιδερένιας σφαίρας διατηρείται σταθερό, πρέπει το φορτίο της χάλκινης σφαίρας να ελαττωθεί και αυτό 2 φορές. Μην ξεχνάτε ότι η δύναμη είναι ανάλογη του γινομένου των δύο φορτίων.
Επομένως το φορτίο της χάλκινης σφαίρας πρέπει να γίνει ίσο με: `{:+3,2μC:} / {:2:}=1,6μC`. Για να ελαττωθεί το θετικό φορτίο της χάλκινης σφαίρας κατά
`ΔQ=abs{:Q_{:τελικο:}-Q_{:αρχικό:}:}=abs{:1,6μC-3,2μC:}=1,6μC`
πρέπει να προστεθούν N ηλεκτρόνια (κβάντωση) στην θετική χάλκινη σφαίρα, τόσα όσα να σχηματίσουν φορτίο ίσο με `ΔQ=-1,6μC`. Για να υπολογίσουμε τον αριθμό αυτών των ηλεκτρονίων έχουμε:
`Ν={:ΔQ:}/{:q_e:}={:-1,6 cdot 10^{:-6:} C:}/{:-1,6 cdot 10^{:-19:}C:}=1 cdot 10^{: 13 :}` ηλεκτρόνια.