4. Εξισώσεις 1ου Βαθμού
Θεωρία
- Εξίσωση 1ου βαθμού είναι η εξίσωση της μορφής `α x +β =0` με `α ne 0`
- Μια εξίσωση περιέχει το σύμβολο της ισότητα (=) και τουλάχιστον μία μεταβλητή, π.χ. οι παρακάτω είναι εξισώσεις:
- `2χ +5 =0`
- `3χ -4 = 5`
- `3χ -4χ = 7χ -9`
- `3(χ-2) -4χ= 9(χ -1)`
- `{:χ-1:} / 3 = 4 - {: 2χ-1:} / 6`
- Μία εξίσωση αποτελείται πάντα από δύο μέλη.
- Λύση ή Ρίζα μίας εξίσωσης είναι ο αριθμός που την επαληθεύει. Δηλαδή εάν αντικαταστήσουμε αυτόν τον αριθμό στην μεταβλητή της εξίσωσης και κάνουμε τις πράξεις ξεχωριστά σε κάθε μέλος θα βρούμε το ίδιο αποτέλεσμα.
- Σε μία εξίσωση μπορούμε να κάνουμε τις παρακάτω πράξεις (ιδιότητες)
- Να προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό και στα δύο μέλη της
- Να αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό και από τα δύο μέλη της
- Να πολλαπλασιάσουμε τον ίδιο αριθμό και στα δύο μέλη και τέλος
- Να διαιρέσουμε ένα αριθμό διάφορο το μηδενός και στα δύο μέλη της.
- Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις προκύπτει μια νέα εξίσωση ισοδύναμη με την προηγούμενη.
- Για να λύσουμε μια εξίσωση αρκεί να βρούμε έναν αριθμό που εάν τον αντικαταστήσουμε στην μεταβλητή της τότε αυτός την επαληθεύει.
- Επίλυση ονομάζουμε την διαδικασία που βρίσκουμε την λύση μιας εξίσωσης.
- Για να λύσουμε μια εξίσωση
- Κάνουμε απαλοιφή των παρανομαστών πολλαπλασιάζοντας με το ΕΚΠ.
- Απαλείφουμε τις παρενθέσεις με την επιμεριστική ιδιότητα
- Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
- Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου.
- Εξισώσεις της μορφής `0x=0` ονομάζονται ταυτότητες και έχουν άπειρες λύσεις, δηλαδή όποιον αριθμό και να αντικαταστήσουμε στο ` x` τότε αυτός την επαληθεύει.
- Εξισώσεις της μορφής `0 x =α`, `α ne 0` ονομάζονται αδύνατες και δεν έχουν καμία λύση.
- Η παράσταση της μορφής `(x+a)=0` ή `x+a =0` έχει λύση την `x=-a`
- Η παράσταση της μορφής `(x-a)=0` ή `x-a =0` έχει λύση την `x=a`
- Η παράσταση της μορφής `(ax+b)=0` ή `ax+b =0` έχει λύση την `x=-{:b / a:}`
- Η παράσταση της μορφής `(ax-b)=0` ή `ax-b =0` έχει λύση την `x={:b / a:}`
- Μια εξίσωση ονομάζετε παραμετρική όταν εκτός από την κύρια μεταβλητή (π.χ. x) υπάρχει και μια δευτερεύουσα μεταβλητή (π.χ. μ) που ονομάζουμε παράμετρο μ. Παρακάτω βλέπουμε μερικά παραδείγματα:
- `2μx -3=0`
- `μ( x -1 ) + 2 x = 3`
- Το μ μπορεί να παίρνει διάφορες τιμές και για κάθε τιμή που βάζουμε (στο μ) προκύπτει και μια διαφορετική εξίσωση, π.χ. στον τύπο `μ( x -1 ) + 2 x = 3` για `μ=0` έχουμε την εξίσωση `2 x =3` ενώ για `μ=1` την εξίσωση `x -1 + 2 x =3`. Επομένως από τον αρχικό τύπο θα προκύψουν πάρα πολλές εξισώσεις και αφού έχουν κάτι κοινό θα λέμε ότι ανήκουν στην ίδια οικογένεια. Δηλαδή ο τύπος `μ( x -1 ) + 2 x = 3` αντιστοιχεί στην οικογένεια και οι εξισώσεις `2 x =3`, `x -1 + 2 x =3`, … στα μέλη της οικογένειας. Το μ δεν θεωρείτε άγνωστος. Άγνωστος είναι το x.
- Τύπος είναι μια εξίσωση που περιέχει πολλά γράμματα. Μόνο ένα από αυτά τα γράμματα είναι ο άγνωστος που ψάχνουμε να βρούμε. Τα υπόλοιπα είναι γνωστοί αριθμοί που απλά τυχαίνει αυτή την στιγμή να μην τους έχουμε αλλά πρέπει να τους θεωρούμε ως δεδομένους, π.χ. στον τύπο `u = s / {:Δt:}` αν ψάχνουμε το s τότε αυτός είναι ο άγνωστος και τα υπόλοιπα ( u, Δt) είναι γνωστά. Για να επιλύσουμε ένα τύπο ακολουθούμε τους γνωστούς κανόνες επίλυσης των εξισώσεων.