5. Ρίζες Θετικών Αριθμών

Θεωρία

  1. Αφού απομνημονεύστε τα τετράγωνα των αριθμών του παρακάτω πίνακα είναι πολύ εύκολο να υπολογίστε τις ρίζες, π.χ. η `sqrt 36=6` διότι `6^2=36`
    `x ` 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    `x ^2` 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144
  2. Οι λύσεις της εξίσωσης `x ^2 =36` είναι οι αριθμοί `x = 6` ή` x = -6` διότι `6^2=36` και` (-6)^2=36`. Γενικά η λύσεις τις εξίσωσης `x ^2 = α`, `α>=0` είναι οι αριθμοί `x = sqrt α` ή `x = - sqrt α`.
  3. Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του α συμβολίζεται με `sqrt α`
  4. Ορίζουμε `sqrt 0 =0`
  5. Η υπόρριζη ποσότητα της τετραγωνικής ρίζας `sqrt α` είναι ο αριθμός α.
  6. Η υπόρριζη ποσότητα α πρέπει πάντα να είναι μη αρνητικός αριθμός, δηλαδή πρέπει `α>=0`. Η `sqrt (-25)` δεν έχει νόημα δεν υπάρχει κανένας πραγματικός αριθμός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο να δίνει -25. Παρατηρείστε ότι τα τετράγωνα όλων των αριθμών είναι μη αρνητικοί: `α^2>=0`.
  7. Τα αποτελέσματα όλων των τετραγωνικών ριζών είναι μη αρνητικοί αριθμοί. Δηλαδή `(sqrt α)>=0`. Παρατηρείστε τον παρακάτω πίνακα
    8. `α` 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144
    `sqrt α` 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
  8. Θα αναλύσουμε την παρακάτω μαθηματική πρόταση
  9. Αν `sqrt α = x`, όπου `α >= 0`, τότε `x >=0` και `x ^2 =α`
  10. Αυτή αποτελείται από δύο μέρη. Το πρώτο μέρος που αρχίζει από την λέξη “Αν” και τελειώνει στην λέξη “τότε” ονομάζεται υπόθεση. Αρχικά η υπόθεση μας λέει ότι `sqrt α = x` δηλαδή ότι το αποτέλεσμα της τετραγωνικής ρίζας βρίσκεται/είναι στην μεταβλητή x και ότι η υπόρριζη ποσότητα α είναι μη αρνητικός αριθμός `α>=0`. Το δεύτερο μέρος αυτής της πρότασης ονομάζεται συμπέρασμα και μας λέει ότι το αποτέλεσμα x της τετραγωνικής ρίζας `sqrt α` είναι μη αρνητικό `(x >=0)` και ότι το x το ικανοποιεί την εξίσωση `x ^2 =α`. Το x είναι η μία (η θετική) από τις δύο λύσεις της εξίσωσης `x ^2 =α`
  11. Προσέξτε τις παρακάτω δύο περιπτώσεις.
  12. `{:sqrt α :}^2=( sqrt α)^2 = sqrt α cdot sqrt α `, πρέπει `α>=0`
  13. `sqrt {:α^2:} = sqrt {: α cdot α:}`, εδώ το α μπορεί να είναι θετικό, αρνητικό ή μηδέν!
  14. Οι παραπάνω περιπτώσεις απλοποιούνται:
  15. `{:sqrt α:}^2=( sqrt α )^2 =α`
  16. `sqrt {: α^2:} = abs α`
  17. Πολύ προσοχή στα ακόλουθα παραδείγματα:
  18. `{:sqrt 5:}^2=5`,
  19. `sqrt{:5^2:}= abs 5 =5`, `sqrt {:(-5)^2:}= abs {: -5:} =5`.
  20. Δηλαδή πάντα το αποτέλεσμα αλλά και η υπόρριζη ποσότητα πρέπει να μη αρνητικοί αριθμοί.
  21. Ισχύουν οι εξής δύο ιδιότητες
  22. `sqrt {:α cdot β :} = sqrt α cdot sqrt β` και
  23. `sqrt {: α / β :} = {:sqrt α :}/{: sqrt β:}` με `β ne 0`, π.χ.
  24. `sqrt 14400= sqrt {: 144 cdot 100:} = sqrt 144 cdot sqrt 100 = 12 cdot 10 =120`
  25. `sqrt {:0.04:} = sqrt {: {:4:}/{:100:}:} = {:sqrt 4 :}/{: sqrt 100:}= {:2:}/{:10:}=0.2`
  26. Είναι πολύ εύκολο να υπολογίσουμε τις τετραγωνικές ρίζες των δυνάμεων του 10. Προσέξτε ότι τα αποτελέσματα έχουν τα μισά μηδενικά! `sqrt 100=10`, `sqrt 10000=100`, `sqrt 1000000=1000` κτλ
  27. Ορθή είναι η γωνία που έχει άνοιγμα (μέτρο) ίσο με 90 μοίρες. Συμβολίζεται με ένα τετραγωνάκι που στην μέση έχει μια τελεία. Οξεία είναι η γωνία που έχει άνοιγμα από 0 έως 90 μοίρες (όχι 0 και ούτε 90), ενώ αμβλεία είναι αυτή που έχει μέτρο από 90 έως 180 μοίρες
  28. Οι κορυφές του τριγώνου ονομάζονται Α, Β, Γ. Οι γωνίες του τριγώνου συμβολίζονται με `hat Α`, `hat Β`, `hat Γ`, οι γωνίες συμβολίζονται και με τρία γράμματα `hat {:ΒΑΓ:}`, `hat {: ΑΒΓ:}`, `hat {:ΑΓΒ:}`. Οι πλευρές με δύο γράμματα `ΑΒ`, `ΑΓ`, `ΒΓ`. αλλά και με ένα μικρό γράμμα α, β, γ με τρόπο ώστε απέναντι από την γωνία `hat Α` να βρίσκεται η πλευρά α κτλ.
  29. Ορθογώνιο είναι το τρίγωνο που έχει μία ορθή γωνία και άλλες δύο οξείες. Η μεγαλύτερη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου ονομάζεται “υποτείνουσα” και βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία. Οι άλλες δύο πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου ονομάζονται “κάθετες”.
  30. Ένα τρίγωνο ονομάζεται ισοσκελές όταν έχει δύο ίσες πλευρές. Η τρίτη πλευρά που είναι άνιση ονομάζεται βάση. Οι γωνίες που είναι προσκείμενες στην βάση είναι ίσες. Δηλαδή οι δύο γωνίες που ακουμπάνε στην βάση είναι ίσες.
  31. Ένα τρίγωνο ονομάζεται ισόπλευρο όταν και οι τρεις πλευρές έχουν το ίδιο μήκος. Όλες οι γωνίες του ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες με `60^ο`
  32. Ένα τρίγωνο μπορεί να είναι και ορθογώνιο αλλά και ισοσκελές ταυτόχρονα. Σε αυτή την περίπτωση οι δύο κάθετες πλευρές του είναι ίσες και οι δύο οξείες γωνίες του είναι ίσες με 45 μοίρες η κάθε μία.
  33. Ύψος ενός τριγώνου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που έχει ως αρχή μία γωνία του τριγώνου και περατώνεται κάθετα στην απέναντι πλευρά. Διάμεσος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που έχει ως αρχή μία γωνία ενός τριγώνου και περατώνεται στην μέση της απέναντι πλευράς και διχοτόμος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που έχει ως αρχή μία γωνία του τριγώνου την οποία και χωρίζει σε δύο ίσα μέρη και περατώνεται στην απέναντι πλευρά.
  34. Αν προσθέσουμε και τις τρεις γωνίες ενός τριγώνου τότε το άθροισμα θα είναι 180 μοίρες.
  35. `hat Α + hat Β + hat Γ =180^ο`
  36. Πυθαγόρειο Θεώρημα: “Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών”. Δηλαδή στο τρίγωνο ΑΒΓ με `Α=90^ο` είναι `α^2=β^2+γ^2`.
  37. Όταν έχουμε να υπολογίσουμε τετραγωνικές ρίζες που είναι η μία μέσα στην άλλη αρχίζουμε από τις πιο εσωτερικές. Φανταστείτε ότι λειτουργούν με τον ίδιο τρόπο με τις επάλληλες παρενθέσεις, π.χ. στην παράσταση `sqrt {: 2 + sqrt {:4:}:}` πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε την `sqrt 4`, δηλαδή `sqrt {: 2 + sqrt 4:}=sqrt {: 2 + 2:} = sqrt 4 = 2`
    38. Κουμουνδούρος Γιάννης, johnkscience@yahoo.com